Πώς να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης; Παραδείγματα λύσεων. Εύρος επιτρεπόμενων τιμών - ODZ

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Πώς να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης; Οι μαθητές του γυμνασίου συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουν αυτό το έργο.

Οι γονείς πρέπει να βοηθήσουν τα παιδιά τους να κατανοήσουν αυτό το ζήτημα.

Καθορισμός συνάρτησης.

Ας θυμηθούμε τους θεμελιώδεις όρους της άλγεβρας. Στα μαθηματικά, συνάρτηση είναι η εξάρτηση μιας μεταβλητής από μια άλλη. Μπορούμε να πούμε ότι πρόκειται για έναν αυστηρό μαθηματικό νόμο που συνδέει δύο αριθμούς με συγκεκριμένο τρόπο.

Στα μαθηματικά, κατά την ανάλυση τύπων, οι αριθμητικές μεταβλητές αντικαθίστανται από αλφαβητικά σύμβολα. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι τα x ("x") και y ("y"). Η μεταβλητή x ονομάζεται όρισμα και η μεταβλητή y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή συνάρτηση του x.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι ορισμού μεταβλητών εξαρτήσεων.

Ας τα απαριθμήσουμε:

1. Αναλυτικός τύπος.
2. Προβολή πίνακα.
3. Γραφική οθόνη.

Η αναλυτική μέθοδος αντιπροσωπεύεται από τον τύπο. Ας δούμε παραδείγματα: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Ο τύπος y=2x+3 είναι τυπικός για μια γραμμική συνάρτηση. Αντικαθιστώντας την αριθμητική τιμή του ορίσματος στον δεδομένο τύπο, λαμβάνουμε την τιμή του y.

Η μέθοδος του πίνακα είναι ένας πίνακας που αποτελείται από δύο στήλες. Η πρώτη στήλη εκχωρείται για τις τιμές Χ και στην επόμενη στήλη καταγράφονται τα δεδομένα του προγράμματος αναπαραγωγής.

Η γραφική μέθοδος θεωρείται η πιο οπτική. Ένα γράφημα είναι μια απεικόνιση του συνόλου όλων των σημείων σε ένα επίπεδο.

Για την κατασκευή ενός γραφήματος, χρησιμοποιείται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Το σύστημα αποτελείται από δύο κάθετες γραμμές. Πάνω στους άξονες τοποθετούνται πανομοιότυπα τμήματα μονάδας. Η καταμέτρηση γίνεται από το κεντρικό σημείο τομής των ευθειών.

Η ανεξάρτητη μεταβλητή υποδεικνύεται σε οριζόντια γραμμή. Ονομάζεται άξονας τετμημένης. Η κάθετη γραμμή (άξονας y) εμφανίζει την αριθμητική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Τα σημεία σημειώνονται στη διασταύρωση των καθέτων σε αυτούς τους άξονες. Συνδέοντας τα σημεία μεταξύ τους, παίρνουμε μια σταθερή γραμμή. Είναι η βάση του χρονοδιαγράμματος.

Τύποι μεταβλητών εξαρτήσεων

Ορισμός.

Γενικά, η εξάρτηση παρουσιάζεται ως εξίσωση: y=f(x). Από τον τύπο προκύπτει ότι για κάθε τιμή του αριθμού x υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός y. Η τιμή του παιχνιδιού, που αντιστοιχεί στον αριθμό x, ονομάζεται τιμή της συνάρτησης.

Όλες οι πιθανές τιμές που αποκτά η ανεξάρτητη μεταβλητή αποτελούν τον τομέα ορισμού της συνάρτησης. Αντίστοιχα, ολόκληρο το σύνολο των αριθμών της εξαρτημένης μεταβλητής καθορίζει το εύρος των τιμών της συνάρτησης. Ο τομέας ορισμού είναι όλες οι τιμές του ορίσματος για τις οποίες έχει νόημα η f(x).

Το αρχικό καθήκον στη μελέτη των μαθηματικών νόμων είναι η εύρεση του πεδίου ορισμού. Αυτός ο όρος πρέπει να οριστεί σωστά. Διαφορετικά, όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί θα είναι άχρηστοι. Εξάλλου, ο όγκος των τιμών διαμορφώνεται με βάση τα στοιχεία του πρώτου συνόλου.

Το εύρος μιας συνάρτησης εξαρτάται άμεσα από τους περιορισμούς. Οι περιορισμοί προκαλούνται από την αδυναμία εκτέλεσης ορισμένων λειτουργιών. Υπάρχουν επίσης όρια στη χρήση αριθμητικών τιμών.

Ελλείψει περιορισμών, το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο χώρος των αριθμών. Το σύμβολο του απείρου έχει ένα οριζόντιο σύμβολο οκτώ. Ολόκληρο το σύνολο των αριθμών γράφεται ως εξής: (-∞; ∞).

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το σύνολο δεδομένων αποτελείται από πολλά υποσύνολα. Το εύρος των αριθμητικών διαστημάτων ή διαστημάτων εξαρτάται από τον τύπο του νόμου της αλλαγής παραμέτρων.

Ακολουθεί μια λίστα παραγόντων που επηρεάζουν τους περιορισμούς:

• αντιστρόφως αναλογικότητα?
• αριθμητική ρίζα?
• εκθεσιμότητα?
• λογαριθμική εξάρτηση;
• τριγωνομετρικές μορφές.

Εάν υπάρχουν πολλά τέτοια στοιχεία, τότε η αναζήτηση περιορισμών χωρίζεται για καθένα από αυτά. Το μεγαλύτερο πρόβλημα είναι ο εντοπισμός κρίσιμων σημείων και κενών. Η λύση στο πρόβλημα θα είναι να ενωθούν όλα τα αριθμητικά υποσύνολα.

Σύνολο και υποσύνολο αριθμών

Σχετικά με τα σετ.

Το πεδίο ορισμού εκφράζεται ως D(f) και το σύμβολο ένωσης αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο ∪. Όλα τα αριθμητικά διαστήματα περικλείονται σε παρένθεση. Εάν το όριο του χώρου δεν περιλαμβάνεται στο σετ, τότε τοποθετείται ημικυκλικός βραχίονας. Διαφορετικά, όταν ένας αριθμός περιλαμβάνεται σε ένα υποσύνολο, χρησιμοποιούνται αγκύλες.

Η αντίστροφη αναλογικότητα εκφράζεται με τον τύπο y=k/x. Το γράφημα της συνάρτησης είναι μια καμπύλη γραμμή που αποτελείται από δύο κλάδους. Συνήθως ονομάζεται υπερβολή.

Εφόσον η συνάρτηση εκφράζεται ως κλάσμα, η εύρεση του πεδίου ορισμού καταλήγει στην ανάλυση του παρονομαστή. Είναι γνωστό ότι στα μαθηματικά απαγορεύεται η διαίρεση με το μηδέν. Η επίλυση του προβλήματος καταλήγει στην εξίσωση του παρονομαστή στο μηδέν και στην εύρεση των ριζών.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Δίνεται: y=1/(x+4). Βρείτε το πεδίο ορισμού.

1. Εξισώνουμε τον παρονομαστή με μηδέν.
   x+4=0
2. Εύρεση της ρίζας της εξίσωσης.
   x=-4
3. Ορίζουμε το σύνολο όλων των πιθανών τιμών του ορίσματος.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Απάντηση: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το -4.

Η τιμή ενός αριθμού κάτω από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας δεν μπορεί να είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση, ο ορισμός μιας συνάρτησης με ρίζα ανάγεται στην επίλυση μιας ανισότητας. Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Η περιοχή προσδιορισμού της ρίζας σχετίζεται με την ισοτιμία του δείκτη ρίζας. Εάν ο δείκτης διαιρείται με το 2, τότε η έκφραση έχει νόημα μόνο εάν είναι θετική. Ένας περιττός αριθμός του δείκτη υποδεικνύει το παραδεκτό οποιασδήποτε τιμής της ριζικής έκφρασης: τόσο θετική όσο και αρνητική.

Οι ανισώσεις λύνονται με τον ίδιο τρόπο όπως οι εξισώσεις. Υπάρχει μόνο μία διαφορά. Αφού πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, το πρόσημο πρέπει να αντιστραφεί.

Εάν η τετραγωνική ρίζα είναι στον παρονομαστή, τότε πρέπει να επιβληθεί πρόσθετη προϋπόθεση. Η αριθμητική τιμή δεν πρέπει να είναι μηδέν. Η ανισότητα κινείται στην κατηγορία των αυστηρών ανισοτήτων.

Λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Η λογαριθμική μορφή έχει νόημα για θετικούς αριθμούς. Έτσι, το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης είναι παρόμοιο με τη συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας, εκτός από το μηδέν.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λογαριθμικής εξάρτησης: y=log(2x-6). Βρείτε το πεδίο ορισμού.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Απάντηση: (3; +∞).

Το πεδίο ορισμού των y=sin x και y=cos x είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν περιορισμοί για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Συνδέονται με τη διαίρεση με το συνημίτονο ή το ημίτονο μιας γωνίας.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας καθορίζεται από τον λόγο ημιτόνου προς συνημίτονο. Ας υποδείξουμε τις τιμές γωνίας στις οποίες δεν υπάρχει η τιμή της εφαπτομένης. Η συνάρτηση y=tg x έχει νόημα για όλες τις τιμές του ορίσματος εκτός από x=π/2+πn, n∈Z.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=ctg x είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, εξαιρουμένων των x=πn, n∈Z. Αν το όρισμα είναι ίσο με τον αριθμό π ή πολλαπλάσιο του π, το ημίτονο της γωνίας είναι μηδέν. Σε αυτά τα σημεία (ασύμπτωτα) η συνεφαπτομένη δεν μπορεί να υπάρξει.

Οι πρώτες εργασίες για τον προσδιορισμό του τομέα ορισμού ξεκινούν στα μαθήματα στην 7η τάξη. Όταν εισαχθεί για πρώτη φορά σε αυτό το τμήμα της άλγεβρας, ο μαθητής πρέπει να κατανοήσει ξεκάθαρα το θέμα.

Σημειώνεται ότι ο όρος αυτός θα συνοδεύει τον μαθητή και στη συνέχεια τον μαθητή καθ' όλη τη διάρκεια της φοίτησης.

ΛειτουργίαΤο y=f(x) είναι μια τέτοια εξάρτηση της μεταβλητής y από τη μεταβλητή x, όταν κάθε έγκυρη τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y.

Τομέας ορισμού συνάρτησης D(f) είναι το σύνολο όλων των πιθανών τιμών της μεταβλητής x.

Εύρος Λειτουργίας E(f) είναι το σύνολο όλων των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής y.

Γράφημα μιας συνάρτησηςΤο y=f(x) είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν μια δεδομένη συναρτησιακή εξάρτηση, δηλαδή σημεία της μορφής M (x; f(x)). Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι μια συγκεκριμένη γραμμή σε ένα επίπεδο.

Αν b=0 , τότε η συνάρτηση θα πάρει τη μορφή y=kx και θα κληθεί ευθεία αναλογικότητα.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

Η κλίση k της ευθείας y=kx+b υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

k= tan \άλφα, όπου \άλφα είναι η γωνία κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox.

1) Η συνάρτηση αυξάνεται μονότονα για k > 0.

Για παράδειγμα: y=x+1

2) Η συνάρτηση μειώνεται μονότονα ως k< 0 .

Για παράδειγμα: y=-x+1

3) Αν k=0, τότε δίνοντας b αυθαίρετες τιμές, παίρνουμε μια οικογένεια ευθειών παράλληλων στον άξονα Ox.

Για παράδειγμα: y=-1

Αντιστρόφως αναλογικότητα

Αντιστρόφως αναλογικότηταονομάζεται συνάρτηση της μορφής y=\frac (k)(x), όπου k είναι ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός

D(f) : x \in \αριστερά \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \αριστερά \(R/y \neq 0 \δεξιά \).

Γράφημα συνάρτησης y=\frac (k)(x)είναι υπερβολή.

1) Αν k > 0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα βρίσκεται στο πρώτο και τρίτο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.

Για παράδειγμα: y=\frac(1)(x)

2) Αν κ< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Για παράδειγμα: y=-\frac(1)(x)

Λειτουργία ισχύος

Λειτουργία ισχύοςείναι συνάρτηση της μορφής y=x^n, όπου n είναι πραγματικός αριθμός μη μηδενικός

1) Αν n=2, τότε y=x^2. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in; κύρια περίοδος της συνάρτησης T=2 \pi

Υπάρχει άπειρος αριθμός συναρτήσεων στα μαθηματικά. Και το καθένα έχει τον δικό του χαρακτήρα.) Για να εργαστείτε με μια μεγάλη ποικιλία λειτουργιών χρειάζεστε μονόκλινοπροσέγγιση. Αλλιώς, τι είδους μαθηματικά είναι αυτά;!) Και υπάρχει τέτοια προσέγγιση!

Όταν εργαζόμαστε με οποιαδήποτε συνάρτηση, την παρουσιάζουμε με ένα τυπικό σύνολο ερωτήσεων. Και το πρώτο, πιο σημαντικό ερώτημα είναι τομέα ορισμού της συνάρτησης.Μερικές φορές αυτή η περιοχή ονομάζεται το σύνολο των έγκυρων τιμών ορίσματος, η περιοχή όπου καθορίζεται μια συνάρτηση κ.λπ.

Ποιος είναι ο τομέας μιας συνάρτησης; Πώς να το βρείτε; Αυτές οι ερωτήσεις συχνά φαίνονται περίπλοκες και ακατανόητες... Αν και, στην πραγματικότητα, όλα είναι εξαιρετικά απλά. Μπορείτε να δείτε μόνοι σας διαβάζοντας αυτή τη σελίδα. Πάμε;)

Λοιπόν, τι να πω... Απλά σεβασμός.) Ναι! Το φυσικό πεδίο μιας συνάρτησης (το οποίο συζητείται εδώ) σπίρταμε ODZ παραστάσεων που περιλαμβάνονται στη συνάρτηση. Αντίστοιχα, γίνεται αναζήτηση σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες.

Τώρα ας δούμε έναν όχι εντελώς φυσικό τομέα ορισμού.)

Πρόσθετοι περιορισμοί στο εύρος μιας λειτουργίας.

Εδώ θα μιλήσουμε για τους περιορισμούς που επιβάλλονται από την εργασία. Εκείνοι. Η εργασία περιέχει ορισμένες πρόσθετες συνθήκες που βρήκε ο μεταγλωττιστής. Ή οι περιορισμοί προκύπτουν από την ίδια τη μέθοδο ορισμού της συνάρτησης.

Όσο για τους περιορισμούς στην εργασία, όλα είναι απλά. Συνήθως, δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τίποτα, όλα λέγονται ήδη στην εργασία. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι οι περιορισμοί που έχει γράψει ο συντάκτης της εργασίας δεν ακυρώνονται βασικοί περιορισμοί των μαθηματικών.Απλά πρέπει να θυμάστε να λάβετε υπόψη τις συνθήκες της εργασίας.

Για παράδειγμα, αυτή η εργασία:

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης:

στο σύνολο των θετικών αριθμών.

Βρήκαμε το φυσικό πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης παραπάνω. Αυτή η περιοχή:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Στη λεκτική μέθοδο για τον καθορισμό μιας συνάρτησης, πρέπει να διαβάσετε προσεκτικά τη συνθήκη και να βρείτε περιορισμούς στα Xs εκεί. Μερικές φορές τα μάτια αναζητούν φόρμουλες, αλλά οι λέξεις σφυρίζουν πέρα ​​από τη συνείδηση ​​ναι...) Παράδειγμα από το προηγούμενο μάθημα:

Η συνάρτηση καθορίζεται από τη συνθήκη: κάθε τιμή του φυσικού ορίσματος x σχετίζεται με το άθροισμα των ψηφίων που συνθέτουν την τιμή του x.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι μιλάμε μόνογια τις φυσικές αξίες του Χ. Τότε Δ(στ)καταγράφηκε άμεσα:

D(f): x ∈ Ν

Όπως μπορείτε να δείτε, ο τομέας μιας συνάρτησης δεν είναι τόσο περίπλοκη έννοια. Η εύρεση αυτής της περιοχής καταλήγει στην εξέταση της συνάρτησης, στη σύνταξη ενός συστήματος ανισοτήτων και στην επίλυση αυτού του συστήματος. Φυσικά, υπάρχουν όλων των ειδών τα συστήματα, απλά και σύνθετα. Αλλά...

Θα σου πω ένα μικρό μυστικό. Μερικές φορές μια συνάρτηση για την οποία πρέπει να βρείτε τον τομέα ορισμού φαίνεται απλά τρομακτική. Θέλω να χλωθώ και να κλάψω.) Μόλις όμως γράψω το σύστημα των ανισοτήτων... Και, ξαφνικά, το σύστημα αποδεικνύεται στοιχειώδες! Επιπλέον, συχνά, όσο πιο τρομερή είναι η λειτουργία, τόσο πιο απλό το σύστημα...

Ηθικό: τα μάτια φοβούνται, το κεφάλι αποφασίζει!)