Chercher

Οικιακές συσκευές

Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη. Το αραβικό σύστημα αριθμών, το οποίο χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή, είναι θέσιο, αλλά το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών δεν είναι. Στα συστήματα αριθμών θέσης, η θέση ενός αριθμού καθορίζει μοναδικά το μέγεθος του αριθμού. Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε αυτόν τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Τότε ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Ο αριθμός 10 καθορίζει το σύστημα αριθμών (στην περίπτωση αυτή είναι το 10). Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.

Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από το μηδέν, τοποθετώντας τον αριθμό από την υποδιαστολή αριστερά και δεξιά:

Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Γενικά, ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

C n μικρό n +C n-1 · μικρό n-1 +...+C 1 · μικρό 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση του n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), μικρό- σύστημα αριθμών.

Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία. (0,1, 2,3,4,5,6,7), στο δυαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1), στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), όπου τα A,B,C,D,E,F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11, 12,13,14,15 Στον πίνακα Πίνακας 1 παρουσιάζονται οι αριθμοί σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, να μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μετατρέψετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Διάλυμα:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από οκταδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Διάλυμα:

Παράδειγμα 3 . Μετατρέψτε τον αριθμό AB572.CDF από δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαδικό SS. Διάλυμα:

Εδώ ΕΝΑ-αντικαταστάθηκε από 10, σι- στις 11, ντο- στις 12, φά- έως 15.

Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος του αριθμού και το κλασματικό μέρος του αριθμού ξεχωριστά.

Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού μετατρέπεται από δεκαδικό SS σε άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών (για δυαδικό SS - με 2, για 8-ary SS - με 8, για 16 -ary SS - κατά 16, κ.λπ. ) έως ότου ληφθεί ένα ολόκληρο υπόλειμμα, μικρότερο από το βασικό CC.

Παράδειγμα 4 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159 από δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:

Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, ο αριθμός 159 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο 1. Επιπλέον, ο αριθμός 79 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο 1, κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά), λαμβάνουμε έναν αριθμό σε δυαδικό SS: 10011111 . Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

159 10 =10011111 2 .

Παράδειγμα 5 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 615 από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.

Όταν μετατρέπετε έναν αριθμό από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 8 έως ότου λάβετε ένα ακέραιο υπόλοιπο μικρότερο από το 8. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά) παίρνουμε έναν αριθμό σε οκταδικό SS: 1147 (βλ. Εικ. 2). Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

615 10 =1147 8 .

Παράδειγμα 6 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

Όπως φαίνεται από το σχήμα 3, διαιρώντας διαδοχικά τον αριθμό 19673 με το 16, τα υπόλοιπα είναι 4, 12, 13, 9. Στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 στο D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι 4CD9.

Για να μετατρέψουμε κανονικά δεκαδικά κλάσματα (πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος) σε σύστημα αριθμών με βάση s, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό με το s έως ότου το κλασματικό μέρος είναι καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύπτει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε αυτό το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται υπόψη (περιλαμβάνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).

Ας δούμε τα παραπάνω με παραδείγματα.

Παράδειγμα 7 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

Όπως φαίνεται από το Σχ. 4, ο αριθμός 0,214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας αριθμός με ακέραιο μέρος διαφορετικό από το μηδέν, τότε το ακέραιο μέρος γράφεται χωριστά (στα αριστερά του αριθμού). και ο αριθμός γράφεται με μηδενικό ακέραιο μέρος. Αν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος, τότε γράφεται ένα μηδέν στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται έως ότου το κλασματικό μέρος φτάσει σε ένα καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Γράφοντας έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0. 0011011 .

Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Παράδειγμα 8 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

Για να μετατρέψετε τον αριθμό 0,125 από δεκαδικό SS σε δυαδικό, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Στο τρίτο στάδιο, το αποτέλεσμα είναι 0. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

0.125 10 =0.001 2 .

Παράδειγμα 9 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

Ακολουθώντας τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό SS, οι αριθμοί 12 και 11 αντιστοιχούν στους αριθμούς C και B. Επομένως, έχουμε:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Παράδειγμα 10 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,512 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό SS.

Λήφθηκε:

0.512 10 =0.406111 8 .

Παράδειγμα 11 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Συνδυάζοντας περαιτέρω αυτά τα αποτελέσματα έχουμε:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Παράδειγμα 12 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε ξεχωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 9). Περαιτέρω, συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα παίρνουμε.

| 6η τάξη | Προγραμματισμός μαθημάτων για τη σχολική χρονιά | Μετατροπή δυαδικών αριθμών σε δεκαδικό σύστημα αριθμών

Μάθημα 5
Μετατροπή δυαδικών αριθμών σε δεκαδικό σύστημα αριθμών
Εργασία με την εφαρμογή Αριθμομηχανή

Μετατροπή ακεραίων δεκαδικών αριθμών σε δυαδικούς

Μέθοδος 1

Ας προσπαθήσουμε να αναπαραστήσουμε τον αριθμό 1409 ως το άθροισμα των όρων της δεύτερης σειράς.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο διαφοράς. Ας πάρουμε τον όρο της δεύτερης σειράς που βρίσκεται πιο κοντά στον αρχικό αριθμό, αλλά χωρίς να τον υπερβούμε, και να κάνουμε τη διαφορά:

1409 - 1024 = 385.

Ας πάρουμε τον όρο της δεύτερης σειράς που είναι πιο κοντά στη διαφορά που προκύπτει, αλλά δεν την υπερβαίνει, και συνθέτουμε τη διαφορά:

385 - 256 = 129.

Ας κάνουμε τη διαφορά με τον ίδιο τρόπο: 129 - 128 = 1.

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

Βλέπουμε ότι κάθε μέλος της δεύτερης σειράς μπορεί είτε να μην συμπεριληφθεί στο άθροισμα είτε να συμπεριληφθεί σε αυτό μόνο μία φορά.

Οι αριθμοί 1 και 0, με τους οποίους πολλαπλασιάζονται οι όροι της δεύτερης σειράς, αποτελούν επίσης τον αρχικό αριθμό 1409, αλλά στη διαφορετική, δυαδική συμβολή του: 10110000001.

Το αποτέλεσμα γράφεται ως εξής:

1409 10 = 10110000001 2 .

Γράψαμε τον αρχικό αριθμό χρησιμοποιώντας το 0 και το 1, με άλλα λόγια, λάβαμε τον δυαδικό κωδικό αυτού του αριθμού ή αντιπροσωπεύαμε τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Μέθοδος 2

Αυτή η μέθοδος απόκτησης του δυαδικού κωδικού ενός δεκαδικού αριθμού βασίζεται στην εγγραφή των υπολοίπων από τη διαίρεση του αρχικού αριθμού και των πηγών που προκύπτουν με το 2, συνεχίζοντας μέχρι το επόμενο πηλίκο να είναι ίσο με 0.

Παράδειγμα:

Το πρώτο κελί της επάνω γραμμής περιέχει τον αρχικό αριθμό και κάθε επόμενο κελί περιέχει το αποτέλεσμα της ακέραιας διαίρεσης του προηγούμενου αριθμού με το 2.

Τα κελιά στην κάτω σειρά περιέχουν τα υπόλοιπα από τη διαίρεση των αριθμών στην επάνω σειρά με το 2.

Το τελευταίο κελί της κάτω σειράς παραμένει κενό. Ο δυαδικός κωδικός του αρχικού δεκαδικού αριθμού λαμβάνεται καταγράφοντας διαδοχικά όλα τα υπόλοιπα, ξεκινώντας από το τελευταίο: 1409 10 = 10110000001 2.

Οι πρώτοι 20 όροι της φυσικής σειράς στο δυαδικό σύστημα αριθμών γράφονται ως εξής: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,110. 10001. 10010. 1. 10100. 

Μετατροπή ακεραίων από δυαδικούς σε δεκαδικούς

Μέθοδος 1

Έστω ένας αριθμός 111101 2. Μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Μέθοδος 2

Ας πάρουμε τον ίδιο αριθμό 111101 2. Ας μετατρέψουμε τη μονάδα του 6ου ψηφίου (το πρώτο στα αριστερά στη σημειογραφία του αριθμού) σε μονάδες του 5ου ψηφίου, για τις οποίες πολλαπλασιάζουμε το 1 επί 2, επειδή η μονάδα του 6ου ψηφίου στο δυαδικό σύστημα περιέχει 2 μονάδες το 5ο ψηφίο.

Στις λαμβανόμενες 2 μονάδες της 5ης κατηγορίας προσθέτουμε την υπάρχουσα μονάδα της 5ης κατηγορίας. Ας μετατρέψουμε αυτές τις 3 μονάδες της 5ης κατηγορίας στην 4η κατηγορία και ας προσθέσουμε την υπάρχουσα μονάδα της 4ης κατηγορίας: 3 2 + 1 = 7.

Ας μετατρέψουμε 7 μονάδες της 4ης κατηγορίας στην 3η κατηγορία και ας προσθέσουμε την υπάρχουσα μονάδα της 3ης κατηγορίας: 7 2 + 1 = 15.

Ας μετατρέψουμε 15 μονάδες του 3ου ψηφίου στο 2ο ψηφίο: 15 2 = 30. Δεν υπάρχουν μονάδες στο 2ο ψηφίο στον αρχικό αριθμό.

Ας μετατρέψουμε 30 μονάδες του 2ου ψηφίου στο 1ο ψηφίο και ας προσθέσουμε τη μονάδα που υπάρχει εκεί: 30 2 + 1 = 61. Βρήκαμε ότι ο αρχικός αριθμός περιέχει 61 μονάδες του 1ου ψηφίου.

Είναι βολικό να οργανώνετε γραπτούς υπολογισμούς ως εξής:

Μπορείτε να μετατρέψετε ακέραιους αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών και αντίστροφα χρησιμοποιώντας την εφαρμογή Αριθμομηχανή.

Ας κάνουμε ένα μικρό πείραμα .

1. Εκκινήστε την εφαρμογή Αριθμομηχανή και εκτελέστε την εντολή [Προβολή-Μηχανική]. Παρακαλώ σημειώστε μια ομάδα διακοπτών που ορίζουν το σύστημα αριθμών:

2. Βεβαιωθείτε ότι η Αριθμομηχανή είναι ρυθμισμένη να λειτουργεί δεκαδικόςαριθμητικό σύστημα. Χρησιμοποιώντας το πληκτρολόγιο ή το ποντίκι, εισαγάγετε έναν αυθαίρετο διψήφιο αριθμό στο πεδίο εισαγωγής. Ενεργοποιήστε το διακόπτη Αποθήκηκαι παρακολουθήστε τις αλλαγές στο παράθυρο εισαγωγής. Επιστροφή στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Διαγράψτε το πεδίο εισαγωγής.

3. Επαναλάβετε το βήμα 2 αρκετές φορές για άλλους δεκαδικούς αριθμούς.

4. Ρυθμίστε την Αριθμομηχανή ώστε να λειτουργεί στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Προσοχή σε ποια κουμπιά Αριθμομηχανήκαι τα αριθμητικά πλήκτρα του πληκτρολογίου είναι διαθέσιμα σε εσάς. Εισαγάγετε έναν προς έναν τους δυαδικούς κωδικούς του 5ου, 10ου και 15ου όρου της φυσικής σειράς και χρησιμοποιήστε το διακόπτη Δεκμετατρέψτε τα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Σημείωση 1

Εάν θέλετε να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, τότε είναι πιο βολικό να τον μετατρέψετε πρώτα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και μόνο στη συνέχεια να τον μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό

Στην υπολογιστική τεχνολογία που χρησιμοποιεί αριθμητική μηχανή, η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο παίζει σημαντικό ρόλο. Παρακάτω δίνουμε τους βασικούς κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).

Όταν μετατρέπετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό, πρέπει να αναπαραστήσετε τον δυαδικό αριθμό ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $2$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Εικόνα 1. Πίνακας 1

Παράδειγμα 1

Μετατρέψτε τον αριθμό $11110101_2$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Διάλυμα.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $1$ της βάσης $2$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 616 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτό περίπτωση $8$ και, στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Εικόνα 2. Πίνακας 2

Παράδειγμα 2

Μετατρέψτε τον αριθμό $75013_8$ στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Διάλυμα.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $2$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

75013_8 $ = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $16$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Εικόνα 3. Πίνακας 3

Παράδειγμα 3

Μετατρέψτε τον αριθμό $FFA2_(16)$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Διάλυμα.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $3$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $2$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $1$. Ένας αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 4

Μετατρέψτε τον αριθμό $22_(10)$ στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Διάλυμα:

Εικόνα 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο οκταδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $8$ έως ότου υπάρχει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $7$. Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα αριθμών αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 5

Μετατρέψτε τον αριθμό $571_(10)$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Διάλυμα:

Εικόνα 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $16$ έως ότου υπάρξει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $15$. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 6

Μετατρέψτε τον αριθμό $7467_(10)$ σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Διάλυμα:

Εικόνα 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Προκειμένου να μετατραπεί ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα δεκαδικών αριθμών σε ένα μη δεκαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί διαδοχικά το κλασματικό μέρος του αριθμού που μετατρέπεται με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρέπει να μετατραπεί. Τα κλάσματα στο νέο σύστημα θα αντιπροσωπεύονται ως ολόκληρα μέρη προϊόντων, ξεκινώντας από το πρώτο.

Για παράδειγμα: $0,3125_((10))$ στο σύστημα οκταδικών αριθμών θα μοιάζει με $0,24_((8))$.

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να αντιμετωπίσετε πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα στο μη δεκαδικό σύστημα αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των ψηφίων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι και τα σωστά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στην πρώτη τριάδα και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Εικόνα 7. Πίνακας 4

Παράδειγμα 7

Μετατρέψτε τον αριθμό $1001011_2$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Διάλυμα. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 4, μετατρέπουμε τον αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να διαιρεθεί σε τετράδια (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας μηδενικά στο πιο σημαντικό τετράδιο και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τετράδιο με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Γράψτε τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών και τις δυνάμεις του δύο από δεξιά προς τα αριστερά.Για παράδειγμα, θέλουμε να μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 10011011 2 σε δεκαδικό. Ας το γράψουμε πρώτα. Στη συνέχεια γράφουμε τις δυνάμεις των δύο από δεξιά προς τα αριστερά. Ας ξεκινήσουμε με 2 0, που ισούται με "1". Αυξάνουμε το βαθμό κατά ένα για κάθε επόμενο αριθμό. Σταματάμε όταν ο αριθμός των στοιχείων στη λίστα είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων του δυαδικού αριθμού. Ο αριθμός του παραδείγματός μας, 10011011, έχει οκτώ ψηφία, επομένως μια λίστα με οκτώ στοιχεία θα μοιάζει με αυτό: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Γράψτε τα ψηφία του δυαδικού αριθμού με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δύο.Τώρα απλά γράψτε το 10011011 κάτω από τους αριθμούς 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 και 1, έτσι ώστε κάθε δυαδικό ψηφίο να αντιστοιχεί σε διαφορετική δύναμη του δύο. Το δεξιότερο "1" του δυαδικού αριθμού πρέπει να αντιστοιχεί στο δεξιότερο "1" από τις δυνάμεις του δύο, και ούτω καθεξής. Εάν προτιμάτε, μπορείτε να γράψετε τον δυαδικό αριθμό πάνω από τις δυνάμεις του δύο. Το πιο σημαντικό είναι να ταιριάζουν μεταξύ τους.

Αντιστοιχίστε τα ψηφία ενός δυαδικού αριθμού με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δύο.Σχεδιάστε γραμμές (από τα δεξιά προς τα αριστερά) που συνδέουν κάθε διαδοχικό ψηφίο του δυαδικού αριθμού με τη δύναμη των δύο πάνω από αυτόν. Ξεκινήστε να σχεδιάζετε γραμμές συνδέοντας το πρώτο ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού με την πρώτη δύναμη των δύο πάνω από αυτόν. Στη συνέχεια, σχεδιάστε μια γραμμή από το δεύτερο ψηφίο του δυαδικού αριθμού στη δεύτερη δύναμη του δύο. Συνεχίστε να συνδέετε κάθε αριθμό με την αντίστοιχη ισχύ των δύο. Αυτό θα σας βοηθήσει να δείτε οπτικά τη σχέση μεταξύ δύο διαφορετικών συνόλων αριθμών.

Γράψτε την τελική τιμή κάθε δύναμης δύο.Περάστε από κάθε ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού. Αν ο αριθμός είναι 1, γράψτε την αντίστοιχη δύναμη του δύο κάτω από τον αριθμό. Εάν αυτός ο αριθμός είναι 0, γράψτε 0 κάτω από τον αριθμό.

• Αφού το "1" ταιριάζει με το "1", παραμένει "1". Αφού το "2" ταιριάζει με το "1", παραμένει "2". Εφόσον το "4" αντιστοιχεί στο "0", γίνεται "0". Αφού το "8" ταιριάζει με το "1", γίνεται "8", και από το "16" ταιριάζει με το "1" γίνεται "16". Το "32" ταιριάζει με το "0" και γίνεται "0", το "64" ταιριάζει με το "0" και επομένως γίνεται "0", ενώ το "128" ταιριάζει με το "1" και επομένως γίνεται 128.

Η φράση ότι κάθε τι καινούργιο δεν είναι τίποτα άλλο από το ξεχασμένο παλιό ισχύει πλήρως για Αποδεικνύεται ότι ακόμη και στην αρχαία Κίνα χρησιμοποιούσαν ήδη κάτι που θυμίζει το δικό μας «ένα και μηδέν», αν και όχι για αριθμητική, αλλά για τη συγγραφή κειμένων του βιβλίου των Αλλαγών. Οι Ίνκας ήταν οι πιο κοντινοί στην κατανόηση διαφορετικών συστημάτων αριθμών: χρησιμοποιούσαν τόσο δεκαδικά όσο και δυαδικά συστήματα, αν και τα τελευταία μόνο για μηνύματα κειμένου και κωδικοποιημένα μηνύματα. Μπορεί να υποτεθεί ότι ακόμη και τότε, πριν από 4 χιλιάδες χρόνια, οι Ίνκας ήξεραν πώς να μετατρέπουν από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα.

Η σύγχρονη εκδοχή προτάθηκε από τον Leibniz μόλις πριν από 300 περίπου χρόνια και μετά από άλλον ενάμιση αιώνα άφησε το όνομά του στη μνήμη των μεταγενέστερων με το έργο του για την άλγεβρα της λογικής. Η δυαδική αριθμητική, μαζί με την άλγεβρα της λογικής, έγιναν το θεμέλιο της σύγχρονης ψηφιακής τεχνολογίας. Όλα ξεκίνησαν το 1937, όταν προτάθηκε μια μέθοδος συμβολικής ανάλυσης κυκλωμάτων ρελέ και μεταγωγής. Αυτό το έργο του Claude Chenon έγινε η «μητέρα» για τον υπολογιστή αναμετάδοσης, ο οποίος εκτέλεσε δυαδική προσθήκη ήδη το 1937. Και, φυσικά, ένα από τα καθήκοντα αυτού του «προπάππου» των σύγχρονων υπολογιστών ήταν η μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό σύστημα.

Πέρασαν μόνο τρία χρόνια και το επόμενο μοντέλο ενός «υπολογιστή» ρελέ έστειλε εντολές στην αριθμομηχανή χρησιμοποιώντας μια τηλεφωνική γραμμή και έναν τηλετύπο - λοιπόν, μόνο το αρχαίο Διαδίκτυο σε δράση.

Τι είναι το δυαδικό, το δεκαδικό, το δεκαεξαδικό και, γενικά, οποιοδήποτε N-ary σύστημα; Τίποτα περίπλοκο. Ας πάρουμε έναν τριψήφιο αριθμό στο αγαπημένο μας δεκαδικό σύστημα που αναπαρίσταται χρησιμοποιώντας 10 σημάδια - από το 0 έως το 9, λαμβάνοντας υπόψη τη θέση τους. Ας προσδιορίσουμε ότι τα ψηφία αυτού του αριθμού βρίσκονται στις θέσεις 0, 1, 2 (η σειρά πηγαίνει από το τελευταίο ψηφίο στο πρώτο). Κάθε θέση μπορεί να περιέχει οποιονδήποτε από τους αριθμούς του συστήματος, αλλά το μέγεθος αυτού του αριθμού καθορίζεται όχι μόνο από το περίγραμμά του, αλλά και από τη θέση του. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 365 (αντίστοιχα, η θέση 0 είναι το ψηφίο 5, η θέση 1 είναι το ψηφίο 6 και η θέση 2 είναι το ψηφίο 3) η τιμή του αριθμού στη θέση μηδέν είναι απλώς 5, στην πρώτη θέση - 6*10 , και στο δεύτερο - 3* 10*10. Είναι ενδιαφέρον εδώ ότι ξεκινώντας από την πρώτη θέση, ο αριθμός περιέχει ένα σημαντικό ψηφίο (από το 0 έως το 9) και τη βάση του συστήματος σε ισχύ ίση με τον αριθμό θέσης, δηλ. μπορούμε να γράψουμε ότι 345 = 3*10*10 + 6*10 +3 = 3*102 + 6*101 + 5*100.

Άλλο παράδειγμα:

260974 = 2*105 + 6*104 + 0*103 + 9*102 + 7*101 + 4*100.

Όπως μπορούμε να δούμε, κάθε θέση θέσης περιέχει έναν σημαντικό αριθμό από το σύνολο ενός δεδομένου συστήματος και έναν πολλαπλασιαστή από τη βάση του συστήματος σε μια ισχύ ίση με τη θέση του δεδομένου αριθμού (η χωρητικότητα ψηφίου ενός αριθμού είναι ο αριθμός θέσεων, αλλά +1 παραπάνω).

Από την άποψη της αναπαράστασης ενός αριθμού, η δυαδική του μορφή είναι αινιγματική στην απλότητά του - υπάρχουν μόνο 2 αριθμοί στο σύστημα - 0 και 1. Αλλά η ομορφιά των μαθηματικών είναι ότι ακόμη και σε περικομμένη μορφή, όπως μπορεί να φαίνεται, Οι δυαδικοί αριθμοί είναι τόσο πλήρεις και ίσοι όσο και οι πιο «ψηλοί σύντροφοί» τους. Πώς όμως μπορούν να συγκριθούν, για παράδειγμα, με έναν δεκαδικό αριθμό; Εναλλακτικά, πρέπει να κάνετε, και σιγά-σιγά, μια μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό. Το έργο δεν μπορεί να ονομαστεί δύσκολο, αλλά αυτή η επίπονη δουλειά απαιτεί προσοχή. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Με βάση όσα ειπώθηκαν παραπάνω σχετικά με τη σειρά αναπαράστασης των αριθμών σε οποιοδήποτε σύστημα, και έχοντας κατά νου τον απλούστερο από αυτούς - δυαδικό, ας πάρουμε οποιαδήποτε ακολουθία «μονών και μηδενικών». Ας ονομάσουμε αυτόν τον αριθμό VO (στα ρωσικά VO) και ας προσπαθήσουμε να μάθουμε τι είναι - μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό σύστημα. Έστω VO=11001010010. Με την πρώτη ματιά, ο αριθμός είναι απλώς ένας αριθμός. Για να δούμε!

Στην πρώτη γραμμή θα τακτοποιήσουμε τον ίδιο τον αριθμό σε εκτεταμένη μορφή και θα γράψουμε τον δεύτερο ως άθροισμα κάθε θέσης με τη μορφή παραγόντων - ένα σημαντικό νούμερο (εδώ η επιλογή είναι μικρή - 0 ή 1) και τον αριθμό 2 έως την ισχύ ίση με τον αριθμό θέσης στο δεκαδικό σύστημα, κάνουμε τη μετάφραση από το δυαδικό σε δεκαδικό. Τώρα η δεύτερη γραμμή χρειάζεται απλώς να κάνει τους υπολογισμούς. Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε επίσης να προσθέσετε μια τρίτη γραμμή με ενδιάμεσους υπολογισμούς.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0;

VO = 1*210 + 1*29 + 0*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20;

VO=1*1024 + 1*512+0*256+0*128+ 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 +0*4 + 1*2 + 0*1.

Υπολογίζουμε την «αριθμητική» στην τρίτη γραμμή και έχουμε αυτό που ψάχναμε: VO = 1618. Λοιπόν, τι είναι τόσο σπουδαίο σε αυτό; Και το γεγονός ότι αυτός ο αριθμός είναι ο πιο διάσημος από όλα όσα είναι γνωστά στους ανθρώπους: οι αναλογίες των αιγυπτιακών πυραμίδων, η διάσημη Μόνα Λίζα, οι μουσικές νότες και το ανθρώπινο σώμα συνδέονται με αυτό, αλλά... Αλλά με μια μικρή διευκρίνιση - Γνωρίζοντας ότι πρέπει να υπάρχουν πολλά καλά, η Αυτού Μεγαλειότητα είναι μια περίπτωση που μας έδωσε αυτόν τον αριθμό 1000 φορές μεγαλύτερο από την πραγματική τιμή - 1.618. Μάλλον για να το απολαύσουν όλοι. Και στην πορεία, η μετάφραση από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό σύστημα βοήθησε να «πιάσει» το πιο αξιοσημείωτο πράγμα από την ατελείωτη θάλασσα των αριθμών - ονομάζεται επίσης «χρυσή αναλογία».