Γραμμική εξάρτηση σειρών. Γραμμικοί συνδυασμοί γραμμών ή στηλών πινάκων

Οι έννοιες της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας ορίζονται εξίσου για γραμμές και στήλες. Επομένως, οι ιδιότητες που σχετίζονται με αυτές τις έννοιες που διατυπώνονται για στήλες ισχύουν, φυσικά, και για τις γραμμές.

1. Εάν ένα σύστημα στήλης περιλαμβάνει μηδενική στήλη, τότε εξαρτάται γραμμικά.

2. Εάν ένα σύστημα στήλης έχει δύο ίσες στήλες, τότε εξαρτάται γραμμικά.

3. Εάν ένα σύστημα στήλης έχει δύο αναλογικές στήλες, τότε εξαρτάται γραμμικά.

4. Ένα σύστημα στηλών εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν τουλάχιστον μία από τις στήλες είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

5. Οποιεσδήποτε στήλες περιλαμβάνονται σε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα.

6. Ένα σύστημα στήλης που περιέχει ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα εξαρτάται γραμμικά.

7. Εάν ένα σύστημα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητο και αφού προστεθεί μια στήλη σε αυτό, αποδεικνύεται ότι είναι γραμμικά εξαρτώμενο, τότε η στήλη μπορεί να αποσυντεθεί σε στήλες και, επιπλέον, με μοναδικό τρόπο, δηλ. οι συντελεστές διαστολής μπορούν να βρεθούν μοναδικά.

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, την τελευταία ιδιότητα. Δεδομένου ότι το σύστημα των στηλών εξαρτάται γραμμικά, υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι όλοι ίσοι με 0, οι οποίοι

Σε αυτή την ισότητα. Στην πραγματικότητα, αν , τότε

Αυτό σημαίνει ότι ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός στηλών είναι ίσος με τη μηδενική στήλη, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τη γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος. Επομένως, και μετά, δηλ. μια στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών. Μένει να δείξουμε τη μοναδικότητα μιας τέτοιας αναπαράστασης. Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Έστω δύο επεκτάσεις και , και δεν είναι όλοι οι συντελεστές των επεκτάσεων αντίστοιχα ίσοι μεταξύ τους (για παράδειγμα, ). Μετά από την ισότητα

Λαμβάνουμε (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

διαδοχικά, ο γραμμικός συνδυασμός στηλών είναι ίσος με τη στήλη μηδέν. Δεδομένου ότι δεν είναι όλοι οι συντελεστές του ίσοι με μηδέν (τουλάχιστον), αυτός ο συνδυασμός είναι μη τετριμμένος, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση της γραμμικής ανεξαρτησίας των στηλών. Η αντίφαση που προκύπτει επιβεβαιώνει τη μοναδικότητα της επέκτασης.

Παράδειγμα 3.2.Να αποδείξετε ότι δύο μη μηδενικές στήλες και εξαρτώνται γραμμικά αν και μόνο αν είναι ανάλογες, δηλ. .

Διάλυμα.Στην πραγματικότητα, αν οι στήλες είναι γραμμικά εξαρτημένες, τότε υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα, έτσι ώστε . Και σε αυτή την ισότητα. Πράγματι, υποθέτοντας ότι , προκύπτει μια αντίφαση, αφού η στήλη είναι επίσης μη μηδενική. Μέσα, . Επομένως, υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος που . Η ανάγκη έχει αποδειχθεί.

Αντίθετα, αν , τότε . Λάβαμε έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό στηλών ίσο με τη στήλη μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι οι στήλες εξαρτώνται γραμμικά.

Παράδειγμα 3.3.Εξετάστε όλα τα είδη συστημάτων που σχηματίζονται από στήλες

Εξετάστε κάθε σύστημα για γραμμική εξάρτηση.
Διάλυμα. Ας εξετάσουμε πέντε συστήματα που περιέχουν μία στήλη το καθένα. Σύμφωνα με την παράγραφο 1 των Παρατηρήσεων 3.1: τα συστήματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ένα σύστημα που αποτελείται από μία στήλη μηδέν εξαρτάται γραμμικά.

Ας εξετάσουμε συστήματα που περιέχουν δύο στήλες:

– καθένα από τα τέσσερα συστήματα εξαρτάται γραμμικά, καθώς περιέχει μια στήλη μηδέν (ιδιότητα 1).

– το σύστημα εξαρτάται γραμμικά, αφού οι στήλες είναι αναλογικές (ιδιότητα 3): ;

– καθένα από τα πέντε συστήματα είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού οι στήλες είναι δυσανάλογες (βλ. τη δήλωση του παραδείγματος 3.2).

Εξετάστε συστήματα που περιέχουν τρεις στήλες:

– καθένα από τα έξι συστήματα εξαρτάται γραμμικά, καθώς περιέχει μια στήλη μηδέν (ιδιότητα 1).

– τα συστήματα εξαρτώνται γραμμικά, καθώς περιέχουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα (ιδιότητα 6).

– συστήματα και εξαρτώνται γραμμικά, αφού η τελευταία στήλη εκφράζεται γραμμικά μέσω των υπολοίπων (ιδιότητα 4): και, αντίστοιχα.

Τέλος, συστήματα τεσσάρων ή πέντε στηλών εξαρτώνται γραμμικά (από την ιδιότητα 6).

Κατάταξη μήτρας

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε ένα άλλο σημαντικό αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός πίνακα, που σχετίζεται με το βαθμό στον οποίο οι σειρές (στήλες) του εξαρτώνται μεταξύ τους.

Ορισμός 14.10Έστω ένας πίνακας μεγεθών και ένας αριθμός που δεν υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς και δίνεται: . Ας επιλέξουμε τυχαία τις σειρές και τις στήλες του πίνακα (οι αριθμοί σειρών μπορεί να διαφέρουν από τους αριθμούς στηλών). Η ορίζουσα ενός πίνακα που αποτελείται από στοιχεία στη τομή επιλεγμένων γραμμών και στηλών ονομάζεται δευτερεύουσα τάξη πίνακα.

Παράδειγμα 14.9Αφήνω .

Ένα δευτερεύον πρώτου βαθμού είναι οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα. Άρα 2, , είναι ανήλικα πρώτης τάξης.

Ανήλικοι δεύτερης τάξης:

1. πάρτε τις γραμμές 1, 2, στήλες 1, 2, παίρνουμε ένα δευτερεύον ;

2. πάρτε τις γραμμές 1, 3, στήλες 2, 4, παίρνουμε ένα δευτερεύον ;

3. πάρτε τις γραμμές 2, 3, στήλες 1, 4, παίρνουμε δευτερεύοντα

Ανήλικοι τρίτης τάξης:

οι σειρές εδώ μπορούν να επιλεγούν μόνο με έναν τρόπο,

1. πάρτε τις στήλες 1, 3, 4, παίρνουμε δευτερεύοντα ;

2. πάρτε τις στήλες 1, 2, 3, παίρνουμε δευτερεύοντα .

Πρόταση 14.23 Αν όλα τα ελάσσονα ενός πίνακα τάξεων είναι ίσα με μηδέν, τότε όλα τα ελάσσονα τάξης , εάν υπάρχουν, είναι επίσης ίσα με μηδέν.

Απόδειξη. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο ελάσσονα τάξης . Αυτός είναι ο προσδιοριστής του πίνακα τάξεων. Ας το αναλύσουμε στην πρώτη γραμμή. Στη συνέχεια, σε κάθε όρο της επέκτασης ένας από τους παράγοντες θα είναι μικρότερος της τάξης του αρχικού πίνακα. Κατά συνθήκη, τα ανήλικα παραγγελιών είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, το δευτερεύον της τάξης θα είναι ίσο με μηδέν.

Ορισμός 14.11Η κατάταξη ενός πίνακα είναι η μεγαλύτερη από τις τάξεις των ανηλίκων του πίνακα που είναι διαφορετικές από το μηδέν. Η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα θεωρείται ότι είναι μηδέν.

Δεν υπάρχει ενιαίος, τυπικός προσδιορισμός για την κατάταξη του πίνακα. Ακολουθώντας το σχολικό βιβλίο, θα το χαρακτηρίσουμε.

Παράδειγμα 14.10Ο πίνακας του Παραδείγματος 14.9 έχει την 3η θέση επειδή υπάρχει δευτερεύον τρίτης τάξης εκτός από το μηδέν, αλλά δεν υπάρχουν δευτερεύοντα τέταρτης τάξης.

Κατάταξη μήτρας ισούται με 1, αφού υπάρχει ένα μη μηδενικό δευτερεύον πρώτης τάξης (στοιχείο μήτρας) και όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία δεύτερης τάξης είναι ίσα με μηδέν.

Η κατάταξη ενός μη ενικού τετράγωνου πίνακα τάξης είναι ίση με , αφού η ορίζουσά του είναι ελάσσονα της τάξης και είναι μη μηδενική για έναν μη ενικό πίνακα.

Πρόταση 14.24 Όταν ένας πίνακας μεταφέρεται, η κατάταξή του δεν αλλάζει, δηλαδή .

Απόδειξη. Ένα μεταφερόμενο ελάσσονα του αρχικού πίνακα θα είναι ελάσσονα του μεταφερόμενου πίνακα και αντίστροφα, κάθε δευτερεύον είναι μεταφερόμενο ελάσσονα του αρχικού πίνακα. Κατά τη μεταφορά, η ορίζουσα (ελάσσονα) δεν αλλάζει (Πρόταση 14.6). Επομένως, εάν όλα τα ελάσσονα μιας τάξης στον αρχικό πίνακα είναι ίσα με μηδέν, τότε όλα τα δευτερεύοντα της ίδιας τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Εάν η ελάσσονα τάξης στον αρχικό πίνακα είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε υπάρχει μια ελάσσονα ίδιας τάξης, διαφορετική από το μηδέν. Οθεν, .

Ορισμός 14.12Έστω η κατάταξη του πίνακα . Τότε κάθε δευτερεύον της τάξης , εκτός από το μηδέν, ονομάζεται ελάσσονα βάσης.

Παράδειγμα 14.11Αφήνω . Η ορίζουσα του πίνακα είναι μηδέν, αφού η τρίτη σειρά είναι ίση με το άθροισμα των δύο πρώτων. Η δευτερεύουσα τάξη δεύτερης τάξης, που βρίσκεται στις δύο πρώτες σειρές και τις δύο πρώτες στήλες, ισούται με . Κατά συνέπεια, η κατάταξη του πίνακα είναι δύο και το θεωρούμενο δευτερεύον είναι βασικό.

Ένα βασικό δευτερεύον είναι επίσης ένα δευτερεύον που βρίσκεται, ας πούμε, στην πρώτη και τρίτη σειρά, πρώτη και τρίτη στήλη: . Η βάση θα είναι η δευτερεύουσα στη δεύτερη και τρίτη σειρά, πρώτη και τρίτη στήλη: .

Το δευτερεύον στην πρώτη και τη δεύτερη σειρά, τη δεύτερη και την τρίτη στήλη είναι μηδέν και επομένως δεν θα είναι βάση. Ο αναγνώστης μπορεί ανεξάρτητα να ελέγξει ποιοι άλλοι ανήλικοι δεύτερης τάξης θα είναι βασικοί και ποιοι όχι.

Δεδομένου ότι οι στήλες (γραμμές) ενός πίνακα μπορούν να προστεθούν, να πολλαπλασιαστούν με αριθμούς και να σχηματιστούν γραμμικοί συνδυασμοί, είναι δυνατό να εισαχθούν ορισμοί της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας ενός συστήματος στηλών (γραμμών) ενός πίνακα. Αυτοί οι ορισμοί είναι παρόμοιοι με τους ίδιους ορισμούς 10.14, 10.15 για διανύσματα.

Ορισμός 14.13Ένα σύστημα στηλών (γραμμών) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν υπάρχει ένα τέτοιο σύνολο συντελεστών, τουλάχιστον ένας από τους οποίους είναι διαφορετικός από το μηδέν, ώστε ο γραμμικός συνδυασμός στηλών (γραμμών) με αυτούς τους συντελεστές να είναι ίσος με μηδέν.

Ορισμός 14.14Ένα σύστημα στηλών (γραμμών) είναι γραμμικά ανεξάρτητο εάν η ισότητα προς το μηδέν ενός γραμμικού συνδυασμού αυτών των στηλών (γραμμών) υποδηλώνει ότι όλοι οι συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού είναι ίσοι με μηδέν.

Η ακόλουθη πρόταση, παρόμοια με την Πρόταση 10.6, είναι επίσης αληθής.

Πρόταση 14.25 Ένα σύστημα στηλών (γραμμών) εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν μία από τις στήλες (μία από τις σειρές) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων στηλών (γραμμών) αυτού του συστήματος.

Ας διατυπώσουμε ένα θεώρημα που ονομάζεται θεώρημα ελάσσονος βάσης.

Θεώρημα 14.2 Οποιαδήποτε στήλη πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών που διέρχονται από το βασικό ελάσσονα.

Η απόδειξη μπορεί να βρεθεί σε εγχειρίδια γραμμικής άλγεβρας, για παράδειγμα, στο,.

Πρόταση 14.26 Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των στηλών του που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα.

Απόδειξη. Έστω η κατάταξη του πίνακα . Ας πάρουμε τις στήλες που περνούν από το βασικό ελάσσονα. Ας υποθέσουμε ότι αυτές οι στήλες σχηματίζουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα. Τότε μια από τις στήλες είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Επομένως, σε ελάσσονα βάση, μια στήλη θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων στηλών. Με τις προτάσεις 14.15 και 14.18, αυτός ο βασικός ελάσσονας πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό του ελάσσονος βάσης. Επομένως, η υπόθεση ότι οι στήλες που διέρχονται από τη βασική ελάσσονα εξαρτώνται γραμμικά δεν είναι αληθής. Άρα, ο μέγιστος αριθμός στηλών που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα είναι μεγαλύτερος ή ίσος με .

Ας υποθέσουμε ότι οι στήλες αποτελούν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Ας φτιάξουμε μια μήτρα από αυτά. Όλα τα ελάσσονα μήτρας είναι ελάσσονα πίνακα. Επομένως, η βασική ελάσσονα του πίνακα έχει τάξη όχι μεγαλύτερη από . Σύμφωνα με το θεώρημα ελάσσονος βάσης, μια στήλη που δεν διέρχεται από το ελάσσονα βάσης ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών που διέρχονται από το ελάσσονα βάσης, δηλαδή οι στήλες του πίνακα αποτελούν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα. Αυτό είναι αντίθετο με την επιλογή των στηλών που σχηματίζουν τον πίνακα. Συνεπώς, ο μέγιστος αριθμός στηλών που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από . Αυτό σημαίνει ότι είναι ίσο με αυτό που αναφέρθηκε.

Πρόταση 14.27 Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των σειρών του που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα.

Απόδειξη. Σύμφωνα με την Πρόταση 14.24, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά τη μεταφορά. Οι σειρές του πίνακα γίνονται οι στήλες του. Ο μέγιστος αριθμός νέων στηλών του μετατιθέμενου πίνακα (πρώην σειρές του αρχικού) που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα είναι ίσος με την κατάταξη του πίνακα.

Πρόταση 14.28 Εάν η ορίζουσα ενός πίνακα είναι μηδέν, τότε μία από τις στήλες του (μία από τις γραμμές) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών (γραμμών).

Απόδειξη. Έστω η σειρά του πίνακα ίση με . Η ορίζουσα είναι η μόνη ελάσσονα ενός τετραγωνικού πίνακα που έχει τάξη . Αφού είναι ίσο με μηδέν, τότε . Κατά συνέπεια, ένα σύστημα στηλών (γραμμών) εξαρτάται γραμμικά, δηλαδή μια από τις στήλες (μία από τις γραμμές) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Τα αποτελέσματα των Προτάσεων 14.15, 14.18 και 14.28 δίνουν το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 14.3 Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ίση με μηδέν εάν και μόνο εάν μία από τις στήλες του (μία από τις γραμμές) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών (γραμμών).

Η εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τον υπολογισμό όλων των ανηλίκων του απαιτεί υπερβολική υπολογιστική εργασία. (Ο αναγνώστης μπορεί να ελέγξει ότι υπάρχουν 36 δευτερεύουσες δευτερεύουσες ομάδες σε έναν τετραγωνικό πίνακα τέταρτης τάξης.) Επομένως, χρησιμοποιείται ένας διαφορετικός αλγόριθμος για την εύρεση της κατάταξης. Για την περιγραφή του, θα απαιτηθούν ορισμένες πρόσθετες πληροφορίες.

Ορισμός 14.15Ας ονομάσουμε τις ακόλουθες ενέργειες σε αυτές στοιχειώδεις μετασχηματισμούς πινάκων:

1) αναδιάταξη γραμμών ή στηλών.
2) πολλαπλασιασμός μιας γραμμής ή στήλης με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.
3) προσθέτοντας σε μια από τις σειρές μια άλλη σειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό ή προσθέτοντας σε μια από τις στήλες μια άλλη στήλη πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό.

Πρόταση 14.29 Κατά τη διάρκεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει.

Απόδειξη. Έστω η κατάταξη του πίνακα ίση με , - ο πίνακας που προκύπτει από την εκτέλεση ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού.

Ας εξετάσουμε τη μετάθεση των χορδών. Έστω ελάσσονα του πίνακα, τότε ο πίνακας έχει ένα ελάσσονα που είτε συμπίπτει είτε διαφέρει από αυτόν αναδιατάσσοντας τις σειρές. Αντίθετα, οποιοσδήποτε δευτερεύων πίνακας μπορεί να συσχετιστεί με έναν ελάσσονα πίνακα που είτε έχει την ίδια σειρά σειρών είτε διαφέρει από αυτόν. Επομένως, από το γεγονός ότι όλα τα ελάσσονα μιας τάξης σε έναν πίνακα είναι ίσα με μηδέν, προκύπτει ότι στον πίνακα όλα τα ελάσσονα αυτής της τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Και εφόσον ο πίνακας έχει μια ελάσσονα τάξης , διαφορετική από το μηδέν, τότε η μήτρα έχει επίσης μια ελάσσονα τάξης, διαφορετική από το μηδέν, δηλαδή .

Εξετάστε το ενδεχόμενο να πολλαπλασιάσετε μια συμβολοσειρά με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν. Ένα δευτερεύον από έναν πίνακα αντιστοιχεί σε ένα ελάσσονα από έναν πίνακα που είτε συμπίπτει είτε διαφέρει από αυτόν σε μία μόνο σειρά, η οποία προκύπτει από τη δευτερεύουσα σειρά πολλαπλασιάζοντας με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν. Στην τελευταία περίπτωση. Σε όλες τις περιπτώσεις, είτε και είναι ταυτόχρονα ίσα με μηδέν, είτε ταυτόχρονα διαφορετικά από το μηδέν. Ως εκ τούτου, .

Η έννοια της κατάταξης του πίνακα σχετίζεται στενά με την έννοια της γραμμικής εξάρτησης (ανεξαρτησίας) των γραμμών ή στηλών του. Στο μέλλον θα παρουσιάσουμε το υλικό για σειρές για στήλες η παρουσίαση είναι παρόμοια.

Στη μήτρα ΕΝΑΑς χαρακτηρίσουμε τις γραμμές του ως εξής:

, , …. ,

Δύο σειρές ενός πίνακα λέγεται ότι είναι ίσες, αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα: , αν , .

Οι αριθμητικές πράξεις σε σειρές μήτρας (πολλαπλασιάζοντας μια σειρά με έναν αριθμό, προσθέτοντας σειρές) εισάγονται ως πράξεις που εκτελούνται στοιχείο προς στοιχείο:

Γραμμή μιονομάζεται γραμμικός συνδυασμός χορδών..., πίνακας, αν είναι ίσος με το άθροισμα των γινομένων αυτών των σειρών με αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς:

Οι σειρές του πίνακα καλούνται γραμμικά εξαρτώμενος, εάν υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε ένας γραμμικός συνδυασμός σειρών μήτρας να είναι ίσος με τη μηδενική σειρά:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Θεώρημα 3.3Οι σειρές ενός πίνακα εξαρτώνται γραμμικά εάν τουλάχιστον μία γραμμή του πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

□ Πράγματι, έστω, για βεβαιότητα, στον τύπο (3.3) , Τότε

Έτσι, η σειρά είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων σειρών. ■

Εάν ένας γραμμικός συνδυασμός σειρών (3.3) είναι ίσος με μηδέν εάν και μόνο εάν όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν, τότε οι σειρές ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες.

Θεώρημα 3.4.(σχετικά με την κατάταξη του πίνακα) Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών ή στηλών του μέσω των οποίων εκφράζονται γραμμικά όλες οι άλλες σειρές (στήλες) του.

□ Αφήστε τον πίνακα ΕΝΑτο μέγεθος m n έχει κατάταξη r(r min). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα μη μηδενικό δευτερεύον r-η σειρά. Οποιοδήποτε μη μηδενικό δευτερεύον rΗ σειρά θα ονομάζεται βασική ελάσσονα.

Για λόγους βεβαιότητας, ας είναι η ελάσσονα βάση προπορευόμενο ή γωνιακό ελάσσονα. Τότε οι σειρές του πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλαδή, μια από αυτές τις χορδές, για παράδειγμα, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Αφαιρέστε από τα στοιχεία r- της 1ης σειράς, τα στοιχεία της 1ης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα με , μετά τα στοιχεία της 2ης σειράς, πολλαπλασιασμένα με , ... και τα στοιχεία ( r- 1) - οι σειρές πολλαπλασιασμένες επί . Με βάση την ιδιότητα 8, με τέτοιους μετασχηματισμούς του πίνακα η ορίζουσα D του δεν θα αλλάξει, αλλά εφόσον r- η σειρά θα αποτελείται τώρα μόνο από μηδενικά, τότε το D = 0 είναι μια αντίφαση. Επομένως, η υπόθεση μας ότι οι σειρές του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά είναι εσφαλμένη.

Ας καλέσουμε τις γραμμές βασικός. Ας δείξουμε ότι οποιεσδήποτε (r+1) σειρές του πίνακα είναι γραμμικά εξαρτημένες, δηλ. οποιαδήποτε συμβολοσειρά εκφράζεται ως βασικές.

Ας εξετάσουμε ένα δευτερεύον (r +1) πρώτης τάξης, το οποίο προκύπτει συμπληρώνοντας το εν λόγω δευτερεύον με στοιχεία μιας άλλης σειράς εγώκαι στήλη ι. Αυτό το δευτερεύον είναι μηδέν αφού η κατάταξη του πίνακα είναι r, οπότε κάθε δευτερεύον υψηλότερης τάξης είναι μηδέν.

Επεκτείνοντάς το σύμφωνα με τα στοιχεία της τελευταίας (προστιθέμενης) στήλης, παίρνουμε

Όπου το μέτρο του τελευταίου αλγεβρικού συμπληρώματος συμπίπτει με το βασικό ελάσσονα ρεκαι επομένως διαφορετικό από το μηδέν, δηλ. 0.

Αφήνω

Στήλες μήτρας διαστάσεων. Γραμμικός συνδυασμός στηλών μήτραςονομάζεται πίνακας στήλης, με καλούμενους μερικούς πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς γραμμικούς συντελεστές συνδυασμού. Αν σε έναν γραμμικό συνδυασμό πάρουμε όλους τους συντελεστές ίσους με μηδέν, τότε ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με τον πίνακα μηδενικής στήλης.

Οι στήλες του πίνακα καλούνται γραμμικά ανεξάρτητη , αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι ίσος με μηδέν μόνο όταν όλοι οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού είναι ίσοι με μηδέν. Οι στήλες του πίνακα καλούνται γραμμικά εξαρτώμενος , εάν υπάρχει ένα σύνολο αριθμών μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι μη μηδενικός και ο γραμμικός συνδυασμός στηλών με αυτούς τους συντελεστές είναι ίσος με μηδέν

Ομοίως, μπορούν να δοθούν ορισμοί της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των σειρών μήτρας. Στη συνέχεια, διατυπώνονται όλα τα θεωρήματα για τις στήλες του πίνακα.

Θεώρημα 5

Εάν υπάρχει ένα μηδέν μεταξύ των στηλών του πίνακα, τότε οι στήλες του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά.

Απόδειξη. Θεωρήστε έναν γραμμικό συνδυασμό στον οποίο όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν για όλες τις μη μηδενικές στήλες και έναν για όλες τις μηδενικές στήλες. Είναι ίσο με μηδέν, και μεταξύ των συντελεστών του γραμμικού συνδυασμού υπάρχει ένας μη μηδενικός συντελεστής. Επομένως, οι στήλες του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά.

Θεώρημα 6

Αν στήλες μήτρας εξαρτώνται γραμμικά, αυτό είναι όλο Οι στήλες μήτρας εξαρτώνται γραμμικά.

Απόδειξη. Για λόγους βεβαιότητας, θα υποθέσουμε ότι οι πρώτες στήλες του πίνακα γραμμικά εξαρτώμενος. Στη συνέχεια, με τον ορισμό μιας γραμμικής εξάρτησης, υπάρχει ένα σύνολο αριθμών μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι μη μηδενικός και ο γραμμικός συνδυασμός στηλών με αυτούς τους συντελεστές είναι ίσος με μηδέν

Ας κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό όλων των στηλών του πίνακα, συμπεριλαμβανομένων των υπόλοιπων στηλών με μηδενικούς συντελεστές

Αλλά . Επομένως, όλες οι στήλες του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά.

Συνέπεια. Μεταξύ γραμμικά ανεξάρτητων στηλών μήτρας, οποιαδήποτε είναι γραμμικά ανεξάρτητη. (Αυτή η δήλωση μπορεί εύκολα να αποδειχθεί με αντίφαση.)

Θεώρημα 7

Προκειμένου οι στήλες ενός πίνακα να εξαρτώνται γραμμικά, είναι απαραίτητο και αρκετό τουλάχιστον μία στήλη του πίνακα να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Απόδειξη.

Ανάγκη.Έστω οι στήλες του πίνακα να είναι γραμμικά εξαρτημένες, δηλαδή υπάρχει ένα σύνολο αριθμών μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι διαφορετικός από το μηδέν και ο γραμμικός συνδυασμός στηλών με αυτούς τους συντελεστές είναι ίσος με μηδέν

Ας υποθέσουμε για βεβαιότητα ότι . Τότε, δηλαδή, η πρώτη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

Επάρκεια. Ας είναι τουλάχιστον μία στήλη του πίνακα γραμμικός συνδυασμός των άλλων, για παράδειγμα, , όπου υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί.

Τότε, δηλαδή, ο γραμμικός συνδυασμός στηλών είναι ίσος με μηδέν, και μεταξύ των αριθμών του γραμμικού συνδυασμού τουλάχιστον ένας (στο ) είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Έστω η κατάταξη του πίνακα . Οποιοδήποτε μη μηδενικό δευτερεύον της τάξης 1 καλείται βασικός . Οι γραμμές και οι στήλες στην τομή των οποίων υπάρχει δευτερεύουσα βάση ονομάζονται βασικός .

Θεωρήστε έναν αυθαίρετο, όχι απαραίτητα τετράγωνο, πίνακα Α μεγέθους mxn.

Κατάταξη μήτρας.

Η έννοια της κατάταξης του πίνακα συνδέεται με την έννοια της γραμμικής εξάρτησης (ανεξαρτησίας) των σειρών (στηλών) του πίνακα. Ας εξετάσουμε αυτήν την έννοια για χορδές. Για στήλες - ομοίως.

Ας υποδηλώσουμε τις αποχετεύσεις του πίνακα Α:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s εάν a kj =a sj , j=1,2,…,n

Οι αριθμητικές πράξεις σε σειρές πινάκων (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό) εισάγονται ως πράξεις που εκτελούνται στοιχείο προς στοιχείο: λе k =(ла k1 ,ла k2 ,…,ла kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Η γραμμή ε ονομάζεται γραμμικός συνδυασμόςσειρές e 1, e 2,…, e k, αν είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων αυτών των γραμμών με αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Οι ευθείες e 1, e 2,…, e m ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενος, αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ 1 , λ 2 ,…,λ m , όχι όλοι ίσοι με μηδέν, ότι ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των συμβολοσειρών είναι ίσος με τη συμβολοσειρά μηδέν: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Οπου 0 =(0,0,…,0) (1)

Αν ένας γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με μηδέν αν και μόνο αν όλοι οι συντελεστές λ i είναι ίσοι με μηδέν (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), τότε οι σειρές e 1, e 2,..., ε μ λέγονται γραμμικά ανεξάρτητη.

Θεώρημα 1. Προκειμένου οι συμβολοσειρές e 1 , e 2 ,…, e m να εξαρτώνται γραμμικά, είναι απαραίτητο και αρκετό μια από αυτές τις συμβολοσειρές να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων συμβολοσειρών.

Απόδειξη. Ανάγκη. Έστω οι συμβολοσειρές e 1, e 2,…, e m γραμμικά εξαρτημένες. Ας, για βεβαιότητα, (1) λ m ≠0, λοιπόν

Οτι. η συμβολοσειρά e m είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων συμβολοσειρών. Και τα λοιπά.

Επάρκεια. Έστω μία από τις συμβολοσειρές, για παράδειγμα e m, ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων συμβολοσειρών. Τότε θα υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι που να ισχύει η ισότητα, οι οποίοι μπορούν να ξαναγραφτούν στη φόρμα

όπου τουλάχιστον 1 από τους συντελεστές, (-1), δεν ισούται με μηδέν. Εκείνοι. οι σειρές εξαρτώνται γραμμικά. Και τα λοιπά.

Ορισμός. Μικρή kth σειράΟ πίνακας Α μεγέθους mxn ονομάζεται ορίζουσα k-ης τάξης με στοιχεία που βρίσκονται στην τομή οποιωνδήποτε k σειρών και οποιωνδήποτε k στηλών του πίνακα A. (k≤min(m,n)). .

Παράδειγμα., ανηλίκους 1ης τάξης: =, =;

Ανήλικοι 2ης τάξης: , 3ης τάξης

Ένας πίνακας 3ης τάξης έχει 9 δευτερεύοντα 1ης τάξης, 9 δευτερεύοντα 2ης τάξης και 1 δευτερεύοντα 3ης τάξης (ο προσδιοριστής αυτού του πίνακα).

Ορισμός. Κατάταξη του πίνακα Αείναι η υψηλότερη τάξη των μη μηδενικών δευτερευόντων δευτερευόντων αυτού του πίνακα. Ονομασία - rg A ή r(A).

Ιδιότητες κατάταξης μήτρας.

1) η κατάταξη του πίνακα A nxm δεν υπερβαίνει τη μικρότερη από τις διαστάσεις του, δηλ.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 όταν όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με 0, δηλ. Α=0.

3) Για τετραγωνικό πίνακα Α νης τάξης r(A)=n, όταν το Α είναι μη εκφυλισμένο.

(Η κατάταξη ενός διαγώνιου πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών διαγώνιων στοιχείων του).

4) Εάν η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με r, τότε ο πίνακας έχει τουλάχιστον ένα ελάσσονα τάξης r που δεν ισούται με μηδέν, και όλα τα ελάσσονα υψηλότερων τάξεων είναι ίσα με μηδέν.

Οι ακόλουθες σχέσεις ισχύουν για τις τάξεις του πίνακα:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), αν το B είναι τετράγωνος μη ενικός πίνακας.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, όπου n είναι ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α ή των σειρών του πίνακα Β.

Ορισμός.Μια μη μηδενική ελάσσονα τάξης r(A) ονομάζεται βασικό μικρό. (Ο πίνακας Α μπορεί να έχει πολλά βασικά ελάσσονα). Οι γραμμές και οι στήλες στην τομή των οποίων υπάρχει δευτερεύουσα βάση καλούνται αντίστοιχα χορδές βάσηςΚαι στήλες βάσης.

Θεώρημα 2 (σχετικά με το ελάσσονα βάσης).Οι υποκείμενες σειρές (στήλες) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Οποιαδήποτε σειρά (οποιαδήποτε στήλη) του πίνακα Α είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών (στήλες).

Απόδειξη. (Για έγχορδα). Εάν οι βασικές σειρές ήταν γραμμικά εξαρτώμενες, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα (1) μία από αυτές τις σειρές θα ήταν ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων βασικών σειρών, τότε, χωρίς να αλλάξετε την τιμή του βασικού δευτερεύοντος, μπορείτε να αφαιρέσετε τον υποδεικνυόμενο γραμμικό συνδυασμό από αυτήν τη σειρά και πάρτε μια μηδενική σειρά, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι η ελάσσονα βάσης είναι διαφορετική από το μηδέν. Οτι. οι βασικές σειρές είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Ας αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε σειρά του πίνακα A είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών. Επειδή με αυθαίρετες αλλαγές σειρών (στήλων) η ορίζουσα διατηρεί την ιδιότητα να είναι ίση με το μηδέν, τότε, χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ελάσσονα βάσης βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία του πίνακα

Α=,εκείνοι. που βρίσκεται στις πρώτες r σειρές και στις πρώτες r στήλες. Έστω 1£j£n, 1£i£m. Ας δείξουμε ότι η ορίζουσα της τάξης (r+1).

Αν j£r ή i£r, τότε αυτή η ορίζουσα ισούται με μηδέν, γιατί θα έχει δύο ίδιες στήλες ή δύο ίδιες σειρές.

Αν j>r και i>r, τότε αυτή η ορίζουσα είναι ελάσσονα της (r+1) ης τάξης του πίνακα Α. Η κατάταξη του πίνακα είναι r, που σημαίνει ότι κάθε δευτερεύον υψηλότερης τάξης είναι ίσο με 0.

Επεκτείνοντάς το σύμφωνα με τα στοιχεία της τελευταίας (προστιθέμενης) στήλης, παίρνουμε

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, όπου το τελευταίο αλγεβρικό συμπλήρωμα A ij συμπίπτει με το βασικό ελάσσονα M r και επομένως A ij = M r ≠0.

Διαιρώντας την τελευταία ισότητα με το A ij, μπορούμε να εκφράσουμε το στοιχείο a ij ως γραμμικό συνδυασμό: , όπου .

Ας καθορίσουμε την τιμή του i (i>r) και ας βρούμε ότι για κάθε j (j=1,2,...,n) τα στοιχεία της i-ης σειράς e i εκφράζονται γραμμικά μέσω των στοιχείων των σειρών e 1, e 2,...,e r, δηλ. e. Η i-η σειρά είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών: . Και τα λοιπά.

Θεώρημα 3. (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι η ορίζουσα ίση με μηδέν).Για να είναι ίση με μηδέν η ορίζουσα ν-ης τάξης D, είναι απαραίτητο και αρκετό οι σειρές (στήλες) της να είναι γραμμικά εξαρτημένες.

Απόδειξη (σελ.40). Ανάγκη. Αν η ορίζουσα ντης τάξης D είναι ίση με μηδέν, τότε η βασική ελάσσονα του πίνακα της είναι της τάξης r

Έτσι, μια σειρά είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, οι σειρές της ορίζουσας εξαρτώνται γραμμικά.

Επάρκεια. Εάν οι σειρές D εξαρτώνται γραμμικά, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 1 μια σειρά A i είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων σειρών. Αφαιρώντας τον καθορισμένο γραμμικό συνδυασμό από τη συμβολοσειρά A i χωρίς να αλλάξουμε την τιμή του D, λαμβάνουμε μια μηδενική συμβολοσειρά. Επομένως, σύμφωνα με τις ιδιότητες των οριζόντων, D=0. και τα λοιπά.

Θεώρημα 4.Κατά τη διάρκεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει.

Απόδειξη. Όπως φάνηκε κατά την εξέταση των ιδιοτήτων των οριζόντων, κατά τον μετασχηματισμό τετραγωνικών πινάκων, οι ορίζουσες τους είτε δεν αλλάζουν, είτε πολλαπλασιάζονται με έναν μη μηδενικό αριθμό, είτε αλλάζουν πρόσημο. Σε αυτήν την περίπτωση, διατηρείται η υψηλότερη τάξη των μη μηδενικών δευτερευόντων δευτερευόντων του αρχικού πίνακα, δηλ. η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει. Και τα λοιπά.

Αν r(A)=r(B), τότε τα Α και Β είναι ισοδύναμο: A~B.

Θεώρημα 5.Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, μπορείτε να μειώσετε τον πίνακα σε κλιμακωτή όψη.Ο πίνακας ονομάζεται σταδιακά, εάν έχει τη μορφή:

A=, όπου a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Η συνθήκη r≤k μπορεί πάντα να επιτευχθεί με τη μεταφορά.

Θεώρημα 6.Η κατάταξη ενός πίνακα κλιμακίου είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών του .

Εκείνοι. Η κατάταξη του πίνακα βημάτων είναι ίση με r, επειδή υπάρχει μια μη μηδενική ελάσσονα τάξης r:

πού είναι κάποιοι αριθμοί (μερικοί ή και όλοι αυτοί οι αριθμοί μπορεί να είναι ίσοι με μηδέν). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν οι ακόλουθες ισότητες μεταξύ των στοιχείων των στηλών:

ή , .

Από την (3.3.1) προκύπτει ότι

(3.3.2)

πού είναι η μηδενική συμβολοσειρά.

Ορισμός. Οι σειρές του πίνακα Α εξαρτώνται γραμμικά εάν υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι όλοι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα, έτσι ώστε

(3.3.3)

Εάν η ισότητα (3.3.3) είναι αληθής αν και μόνο αν , τότε οι σειρές ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες. Η σχέση (3.3.2) δείχνει ότι εάν μία από τις σειρές εκφράζεται γραμμικά ως προς τις άλλες, τότε οι σειρές εξαρτώνται γραμμικά.

Είναι εύκολο να δούμε το αντίστροφο: αν οι συμβολοσειρές εξαρτώνται γραμμικά, τότε υπάρχει μια συμβολοσειρά που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων χορδών.

Έστω, για παράδειγμα, στην (3.3.3), τότε .

Ορισμός. Αφήστε ένα ορισμένο δευτερεύον να επιλεγεί στον πίνακα Α r η σειρά και έστω δευτερεύουσας ( r Η +1)η σειρά του ίδιου πίνακα περιέχει εξ ολοκλήρου το δευτερεύον . Θα πούμε ότι σε αυτή την περίπτωση η ελάσσονα συνορεύει με την ελάσσονα (ή είναι οριοθετημένη για ).

Τώρα θα αποδείξουμε ένα σημαντικό λήμμα.

Λήμμασχετικά με τους συνοριακούς ανηλίκους. Αν το ανήλικο είναι σε τάξη r Ο πίνακας A = είναι διαφορετικός από το μηδέν και όλα τα δευτερεύοντα που τον περιβάλλουν είναι ίσα με μηδέν, τότε οποιαδήποτε σειρά (στήλη) του πίνακα A είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των σειρών (στήλων) του που αποτελούν .

Απόδειξη. Χωρίς να χάσουμε τη γενικότητα του συλλογισμού, θα υποθέσουμε ότι ένα μη μηδενικό δευτερεύον r η σειρά βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία του πίνακα A=:

.

Για το πρώτο κ σειρές του πίνακα Α, η δήλωση του λήμματος είναι προφανής: αρκεί να συμπεριλάβουμε σε έναν γραμμικό συνδυασμό την ίδια σειρά με συντελεστή ίσο με ένα και τα υπόλοιπα - με συντελεστές ίσους με μηδέν.

Ας αποδείξουμε τώρα ότι οι υπόλοιπες σειρές του πίνακα Α εκφράζονται γραμμικά ως προς την πρώτηκ γραμμές. Για να γίνει αυτό, θα κατασκευάσουμε ένα δευτερεύον ( r +1)η παραγγελία με προσθήκη στο δευτερεύον k -η γραμμή () και μεγάλοη στήλη():

.

Το δευτερεύον που προκύπτει είναι ίσο με μηδέν για όλουςκ και λ . Αν , τότε ισούται με μηδέν καθώς περιέχει δύο ίδιες στήλες. Αν , τότε το δευτερεύον που προκύπτει είναι ελάσσονα ακμής για και, επομένως, ισούται με μηδέν από τις συνθήκες του λήμματος.

Ας αποσυνθέσουμε το ελάσσονα σύμφωνα με τα στοιχεία του τελευταίουμεγάλοη στήλη:

(3.3.4)

όπου βρίσκονται τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων. Το αλγεβρικό συμπλήρωμα είναι ελάσσονα του πίνακα Α, επομένως . Διαιρέστε το (3.3.4) με και εκφράστε το με:

(3.3.5)

Πού,.

Υποθέτοντας, παίρνουμε:

(3.3.6)

Η έκφραση (3.3.6) σημαίνει ότικ Η ου σειρά του πίνακα Α εκφράζεται γραμμικά μέσω της πρώτης r γραμμές.

Δεδομένου ότι όταν μεταφέρεται ένας πίνακας, οι τιμές των δευτερευόντων του δεν αλλάζουν (λόγω της ιδιότητας των καθοριστικών παραγόντων), τότε όλα τα αποδεδειγμένα ισχύουν και για τις στήλες. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συμπέρασμα Ι . Οποιαδήποτε σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών του (στήλες). Πράγματι, η βασική ελάσσονα του πίνακα είναι μη μηδενική, και όλα τα ελάσσονα που συνορεύουν με αυτόν είναι ίσα με μηδέν.

Συμπέρασμα II. Ορίζουσα n τάξης ισούται με μηδέν εάν και μόνο εάν περιέχει γραμμικά εξαρτώμενες σειρές (στήλες). Η επάρκεια της γραμμικής εξάρτησης των σειρών (στηλών) ώστε η ορίζουσα να είναι ίση με το μηδέν αποδείχθηκε νωρίτερα ως ιδιότητα των οριζόντων.

Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα. Ας δοθεί ένας τετραγωνικός πίνακας n ης τάξης, το μόνο δευτερεύον της οποίας είναι μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι μικρότερη n , δηλ. υπάρχει τουλάχιστον μία σειρά που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών αυτού του πίνακα.

Ας αποδείξουμε ένα άλλο θεώρημα για την κατάταξη του πίνακα.

Θεώρημα.Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών ενός πίνακα είναι ίσος με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του και είναι ίσος με την κατάταξη αυτού του πίνακα.

Απόδειξη. Έστω η κατάταξη του πίνακα A= ίση με r. Τότε οποιοδήποτε από τα k Οι βασικές σειρές είναι γραμμικά ανεξάρτητες, διαφορετικά η ελάσσονα βάσης θα ήταν μηδέν. Από την άλλη πλευρά, οποιαδήποτε r Οι +1 ή περισσότερες σειρές εξαρτώνται γραμμικά. Υποθέτοντας το αντίθετο, θα μπορούσαμε να βρούμε μια δευτερεύουσα τάξη μεγαλύτερη από r , διαφορετικό από το μηδέν από το συμπέρασμα 2 του προηγούμενου λήμματος. Το τελευταίο έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι η μέγιστη τάξη των μη μηδενικών δευτερευόντων είναι ίση με r . Όλα όσα αποδεικνύονται για γραμμές ισχύουν και για στήλες.

Συμπερασματικά, θα περιγράψουμε μια άλλη μέθοδο για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα. Η κατάταξη ενός πίνακα μπορεί να προσδιοριστεί βρίσκοντας ένα ελάσσονα μέγιστης τάξης που είναι διαφορετική από το μηδέν.

Με την πρώτη ματιά, αυτό απαιτεί τον υπολογισμό ενός πεπερασμένου, αλλά ίσως πολύ μεγάλου αριθμού δευτερευόντων αυτού του πίνακα.

Το ακόλουθο θεώρημα επιτρέπει, ωστόσο, να εισαχθούν σημαντικές απλουστεύσεις σε αυτό.

Θεώρημα.Εάν η ελάσσονα του πίνακα Α είναι μη μηδενική και όλα τα δευτερεύοντα που συνορεύουν με αυτόν είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με r.

Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι οποιοδήποτε υποσύστημα γραμμών μήτρας με S>r θα είναι γραμμικά εξαρτώμενη υπό τις συνθήκες του θεωρήματος (από αυτό θα προκύψει ότι r είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών του πίνακα ή οποιεσδήποτε από τις ελάσσονες της τάξης μεγαλύτερης από k είναι ίσα με μηδέν).

Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Αφήστε τις σειρές να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Σύμφωνα με το λήμμα για τα συνοριακά ανήλικα, καθένα από αυτά θα εκφραστεί γραμμικά μέσω των γραμμών που περιέχουν το δευτερεύον και οι οποίες, λόγω του γεγονότος ότι διαφέρουν από το μηδέν, είναι γραμμικά ανεξάρτητες:

(3.3.7)

Θεωρήστε τον πίνακα K από τους συντελεστές των γραμμικών παραστάσεων (3.3.7):

.

Οι σειρές αυτού του πίνακα θα συμβολίζονται με . Θα εξαρτώνται γραμμικά, αφού η κατάταξη του πίνακα Κ, δηλ. ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του δεν υπερβαίνει r< S . Επομένως, υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, όχι όλοι ίσοι με μηδέν, που

Ας περάσουμε στην ισότητα των συστατικών

(3.3.8)

Τώρα εξετάστε τον ακόλουθο γραμμικό συνδυασμό:

ή