Βρείτε την τιμή ενός γραμμικού τελεστή σε παραδείγματα διανύσματος. Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές ενός γραμμικού τελεστή

Με τον πίνακα A, αν υπάρχει αριθμός l τέτοιος ώστε AX = lX.

Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός l ιδιοτιμήτελεστής (μήτρας Α) που αντιστοιχεί στο διάνυσμα Χ.

Με άλλα λόγια, ένα ιδιοδιάνυσμα είναι ένα διάνυσμα που, υπό τη δράση ενός γραμμικού τελεστή, μετατρέπεται σε συγγραμμικό διάνυσμα, δηλ. απλά πολλαπλασιάστε με κάποιο αριθμό. Αντίθετα, τα ακατάλληλα διανύσματα είναι πιο πολύπλοκα στον μετασχηματισμό.

Ας γράψουμε τον ορισμό ενός ιδιοδιανύσματος με τη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων:

Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:

Το τελευταίο σύστημα μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας ως εξής:

(A - lE)X = O

Το σύστημα που προκύπτει έχει πάντα μηδενική λύση X = O. Τέτοια συστήματα στα οποία όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν ονομάζονται ομοιογενής. Εάν ο πίνακας ενός τέτοιου συστήματος είναι τετράγωνος και η ορίζουσα του δεν είναι ίση με το μηδέν, τότε χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer θα έχουμε πάντα μια μοναδική λύση - μηδέν. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα σύστημα έχει μη μηδενικές λύσεις εάν και μόνο εάν η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με μηδέν, δηλ.

|A - lE| = = 0

Αυτή η εξίσωση με άγνωστο l ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση (χαρακτηριστικό πολυώνυμο) πίνακας Α (γραμμικός τελεστής).

Μπορεί να αποδειχθεί ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός γραμμικού τελεστή δεν εξαρτάται από την επιλογή της βάσης.

Για παράδειγμα, ας βρούμε ιδιοτιμέςκαι ιδιοδιανύσματα του γραμμικού τελεστή που καθορίζονται από τον πίνακα A = .

Για να γίνει αυτό, ας δημιουργήσουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; ιδιοτιμές l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Για να βρούμε ιδιοδιανύσματα, λύνουμε δύο συστήματα εξισώσεων

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Για το πρώτο από αυτά, ο διευρυμένος πίνακας παίρνει τη μορφή

,

εξ ου x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, δηλ. X (1) = (-(2/3)s; s).

Για το δεύτερο από αυτά, ο διευρυμένος πίνακας παίρνει τη μορφή

,

από όπου x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, δηλ. X (2) = ((2/3)s 1, s 1).

Έτσι, τα ιδιοδιανύσματα αυτού του γραμμικού τελεστή είναι όλα διανύσματα της μορφής (-(2/3)с; γ) με ιδιοτιμή (-5) και όλα τα διανύσματα της μορφής ((2/3)с 1 ; с 1) με ιδιοτιμή 7 .

Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του τελεστή Α στη βάση που αποτελείται από τα ιδιοδιανύσματά του είναι διαγώνιος και έχει τη μορφή:

,

όπου l i είναι οι ιδιοτιμές αυτού του πίνακα.

Το αντίστροφο ισχύει επίσης: εάν ο πίνακας Α σε κάποια βάση είναι διαγώνιος, τότε όλα τα διανύσματα αυτής της βάσης θα είναι ιδιοδιανύσματα αυτού του πίνακα.

Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι εάν ένας γραμμικός τελεστής έχει n κατά ζεύγη διακριτές ιδιοτιμές, τότε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ο πίνακας αυτού του τελεστή στην αντίστοιχη βάση έχει διαγώνια μορφή.

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με το προηγούμενο παράδειγμα. Ας πάρουμε αυθαίρετες μη μηδενικές τιμές c και c 1, αλλά τέτοιες ώστε τα διανύσματα X (1) και X (2) να είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δηλ. θα αποτελούσε βάση. Για παράδειγμα, έστω c = c 1 = 3, μετά X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Ας σιγουρευτούμε γραμμική ανεξαρτησίααυτούς τους φορείς:

12 ≠ 0. Σε αυτή τη νέα βάση, ο πίνακας A θα έχει τη μορφή A * = .

Για να το επαληθεύσουμε αυτό, ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο A * = C -1 AC. Αρχικά, ας βρούμε το C -1.

C-1 = ;

Τετραγωνικά σχήματα

Τετραγωνικό σχήμα f(x 1, x 2, x n) των n μεταβλητών ονομάζεται ένα άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο μιας από τις μεταβλητές, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών μεταβλητών, που λαμβάνονται με έναν ορισμένο συντελεστή: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Ο πίνακας Α που αποτελείται από αυτούς τους συντελεστές ονομάζεται μήτρατετραγωνική μορφή. Είναι πάντα συμμετρικόςμήτρας (δηλ. ένας πίνακας συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο, a ij = a ji).

Στον συμβολισμό πίνακα, η τετραγωνική μορφή είναι f(X) = X T AX, όπου

Πράγματι

Για παράδειγμα, ας γράψουμε την τετραγωνική μορφή σε μορφή πίνακα.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής. Τα διαγώνια στοιχεία του είναι ίσα με τους συντελεστές των τετραγωνικών μεταβλητών και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με τα μισά των αντίστοιχων συντελεστών της τετραγωνικής μορφής. Να γιατί

Έστω ότι η μήτρα-στήλη των μεταβλητών X λαμβάνεται από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό της μήτρας-στήλης Υ, δηλ. X = CY, όπου C είναι ένας μη ενικός πίνακας νης τάξης. Τότε η τετραγωνική μορφή f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Έτσι, με έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό C, ο πίνακας τετραγωνικής μορφής παίρνει τη μορφή: A * = C T AC.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τετραγωνική μορφή f(y 1, y 2), που προκύπτει από την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 με γραμμικό μετασχηματισμό.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονικός(Εχει κανονική άποψη), αν όλοι οι συντελεστές του a ij = 0 για i ≠ j, δηλ.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Η μήτρα του είναι διαγώνιος.

Θεώρημα(η απόδειξη δεν δίνεται εδώ). Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφήχρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό.

Για παράδειγμα, ας ανάγουμε την τετραγωνική μορφή σε κανονική μορφή
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε πρώτα ένα πλήρες τετράγωνο με τη μεταβλητή x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Τώρα επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο με τη μεταβλητή x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Στη συνέχεια μη εκφυλισμένη γραμμικός μετασχηματισμός y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 και y 3 = x 3 φέρνει αυτή την τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφή f(y 1, y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5 ε 2 2 + (1/20) ε 3 2 .

Σημειώστε ότι η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής καθορίζεται διφορούμενα (η ίδια τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί στην κανονική μορφή διαφορετικοί τρόποι). Ωστόσο, το έλαβε διαφορετικοί τρόποιοι κανονικές μορφές έχουν έναν αριθμό από γενικές ιδιότητες. Ειδικότερα, ο αριθμός των όρων με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές μιας τετραγωνικής μορφής δεν εξαρτάται από τη μέθοδο αναγωγής της φόρμας σε αυτήν τη μορφή (για παράδειγμα, στο εξεταζόμενο παράδειγμα θα υπάρχουν πάντα δύο αρνητικοί και ένας θετικός συντελεστής). Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται νόμος της αδράνειας των τετραγωνικών μορφών.

Ας το επαληθεύσουμε αυτό φέρνοντας την ίδια τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφή με διαφορετικό τρόπο. Ας ξεκινήσουμε τον μετασχηματισμό με τη μεταβλητή x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, όπου y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 και y 3 = x 1 . Εδώ υπάρχει ένας αρνητικός συντελεστής -3 στο y 1 και δύο θετικοί συντελεστές 3 και 2 στο y 2 και y 3 (και χρησιμοποιώντας μια άλλη μέθοδο πήραμε έναν αρνητικό συντελεστή (-5) στο y 2 και δύο θετικούς: 2 στο y 1 και 1/20 στο y 3).

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η κατάταξη ενός πίνακα τετραγωνικής μορφής, που ονομάζεται βαθμός τετραγωνικής μορφής, ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών συντελεστών της κανονικής μορφής και δεν αλλάζει υπό γραμμικούς μετασχηματισμούς.

Η τετραγωνική μορφή f(X) ονομάζεται θετικώς (αρνητικός) βέβαιος, εάν για όλες τις τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν, είναι θετικό, δηλ. f(X) > 0 (αρνητικό, δηλ.
f(X)< 0).

Για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 είναι θετική οριστική, επειδή είναι ένα άθροισμα τετραγώνων και η τετραγωνική μορφή f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 είναι αρνητική οριστική, επειδή αντιπροσωπεύει μπορεί να αναπαρασταθεί ως f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Στις περισσότερες πρακτικές καταστάσεις, είναι κάπως πιο δύσκολο να καθοριστεί το οριστικό πρόσημο μιας τετραγωνικής μορφής, επομένως για αυτό χρησιμοποιούμε ένα από τα παρακάτω θεωρήματα (θα τα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη).

Θεώρημα. Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική (αρνητική) ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα της είναι θετικές (αρνητικές).

Θεώρημα(κριτήριο Sylvester). Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα αυτής της μορφής είναι θετικά.

Κύρια (γωνιακά) ελάσσοναΗ kth τάξης πίνακας A της νης τάξης ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τις πρώτες k σειρές και στήλες του πίνακα A ().

Σημειώστε ότι για αρνητικούς οριστικούς τετραγωνικούς τύπους τα πρόσημα των κυρίων ανηλίκων εναλλάσσονται και το δευτερεύον πρώτης τάξης πρέπει να είναι αρνητικό.

Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 για την οριστικότητα του πρόσημου.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Μέθοδος 2. Κύρια ελάσσονα πρώτης τάξης του πίνακα A D 1 = a 11 = 2 > 0. Κύριο ελάσσονα δεύτερης τάξης D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο του Sylvester, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Εξετάζουμε μια άλλη τετραγωνική μορφή για την οριστικότητα του πρόσημου, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Μέθοδος 1. Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής A = . Η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τη μορφή = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητική οριστική.

Μέθοδος 2. Κύριο δευτερεύον της πρώτης τάξης του πίνακα A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Κατά συνέπεια, σύμφωνα με το κριτήριο του Sylvester, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητική οριστική (τα πρόσημα των κύριων ανηλίκων εναλλάσσονται, ξεκινώντας από το μείον).

Και ως άλλο παράδειγμα, εξετάζουμε την καθορισμένη με πρόσημο τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Μέθοδος 1. Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής A = . Η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τη μορφή = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Ο ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι αρνητικός και ο άλλος θετικός. Τα σημάδια των ιδιοτιμών είναι διαφορετικά. Κατά συνέπεια, η τετραγωνική μορφή δεν μπορεί να είναι ούτε αρνητικά ούτε θετικά οριστική, δηλ. αυτή η τετραγωνική μορφή δεν είναι καθορισμένη (μπορεί να πάρει τιμές οποιουδήποτε σημείου).

Μέθοδος 2. Κύρια ελάσσονα πρώτης τάξης του πίνακα A D 1 = a 11 = 2 > 0. Κύρια ελάσσονα δεύτερης τάξης D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Το διάνυσμα X ≠ 0 ονομάζεται ιδιοδιάνυσμαγραμμικός τελεστής με πίνακα A, αν υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε AX =X.

Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός fi ιδιοτιμήτελεστής (μήτρας Α) που αντιστοιχεί στο διάνυσμα x.

Με άλλα λόγια, ένα ιδιοδιάνυσμα είναι ένα διάνυσμα που, υπό τη δράση ενός γραμμικού τελεστή, μετατρέπεται σε συγγραμμικό διάνυσμα, δηλ. απλά πολλαπλασιάστε με κάποιο αριθμό. Αντίθετα, τα ακατάλληλα διανύσματα είναι πιο πολύπλοκα στον μετασχηματισμό.

Ας γράψουμε τον ορισμό ενός ιδιοδιανύσματος με τη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων:

Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:

Το τελευταίο σύστημα μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας ως εξής:

(A - E)X = O

Το σύστημα που προκύπτει έχει πάντα μηδενική λύση X = O. Τέτοια συστήματα στα οποία όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν ονομάζονται ομοιογενής. Εάν ο πίνακας ενός τέτοιου συστήματος είναι τετράγωνος και η ορίζοντή του δεν είναι ίση με το μηδέν, τότε χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer θα έχουμε πάντα μια μοναδική λύση - το μηδέν. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα σύστημα έχει μη μηδενικές λύσεις εάν και μόνο εάν η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με μηδέν, δηλ.

|A - E| = = 0

Αυτή η εξίσωση με έναν άγνωστο ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση(χαρακτηριστικό πολυώνυμο) πίνακας Α (γραμμικός τελεστής).

Μπορεί να αποδειχθεί ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός γραμμικού τελεστή δεν εξαρτάται από την επιλογή της βάσης.

Για παράδειγμα, ας βρούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του γραμμικού τελεστή που ορίζονται από τον πίνακα A = .

Για να γίνει αυτό, ας δημιουργήσουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; ιδιοτιμές 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Για να βρούμε ιδιοδιανύσματα, λύνουμε δύο συστήματα εξισώσεων

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Για το πρώτο από αυτά, ο διευρυμένος πίνακας παίρνει τη μορφή

,

εξ ου x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, δηλ. X (1) = (-(2/3)s; s).

Για το δεύτερο από αυτά, ο διευρυμένος πίνακας παίρνει τη μορφή

,

από όπου x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, δηλ. X (2) = ((2/3)s 1, s 1).

Έτσι, τα ιδιοδιανύσματα αυτού του γραμμικού τελεστή είναι όλα διανύσματα της μορφής (-(2/3)с; γ) με ιδιοτιμή (-5) και όλα τα διανύσματα της μορφής ((2/3)с 1 ; с 1) με ιδιοτιμή 7 .

Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του τελεστή Α στη βάση που αποτελείται από τα ιδιοδιανύσματά του είναι διαγώνιος και έχει τη μορφή:

,

όπου  i είναι οι ιδιοτιμές αυτού του πίνακα.

Το αντίστροφο ισχύει επίσης: εάν ο πίνακας Α σε κάποια βάση είναι διαγώνιος, τότε όλα τα διανύσματα αυτής της βάσης θα είναι ιδιοδιανύσματα αυτού του πίνακα.

Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι εάν ένας γραμμικός τελεστής έχει n κατά ζεύγη διακριτές ιδιοτιμές, τότε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ο πίνακας αυτού του τελεστή στην αντίστοιχη βάση έχει διαγώνια μορφή.

Ορισμός 5.3. Μη μηδενικό διάνυσμα x στον γραμμικό χώροΤο L ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του γραμμικού τελεστή A: L → L, αν για κάποιο πραγματικό αριθμό A ισχύει η σχέση Ax = λx. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός λ ιδιοτιμή (ιδιοτιμή) του γραμμικού τελεστή ΕΝΑ.

Παράδειγμα 5.3.Ο γραμμικός χώρος K n [x] πολυωνύμων βαθμού το πολύ n περιέχει πολυώνυμα βαθμού μηδέν, δηλ. μόνιμες λειτουργίες. Εφόσον dc/dx = 0 = 0 c, πολυώνυμα βαθμού μηδέν p(x) = c ≠ 0 είναι τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή γραμμικής διαφοροποίησης και ο αριθμός λ = 0 είναι η ιδιοτιμή αυτού του τελεστή. #

Το σύνολο όλων των ιδιοτιμών ενός γραμμικού τελεστή καλείται φάσμα του γραμμικού τελεστή . Κάθε ιδιοδιάνυσμα συνδέεται με τη δική του ιδιοτιμή. Πράγματι, αν ένα διάνυσμα x ικανοποιεί ταυτόχρονα δύο ισότητες Ax = λx και Ax = μx, τότε λx = μx, από όπου (λ - μ)x = 0. Αν λ - μ ≠ 0, πολλαπλασιάστε την ισότητα με τον αριθμό (λ - μ ) -1 και ως αποτέλεσμα παίρνουμε ότι x = 0. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό του ιδιοδιανύσματος, αφού ένα ιδιοδιάνυσμα είναι πάντα μη μηδενικό.

Κάθε ιδιοτιμή έχει τα δικά της ιδιοδιανύσματα και υπάρχουν άπειρα πολλά από αυτά. Πράγματι, αν x είναι ιδιοδιάνυσμα ενός γραμμικού τελεστή Α με ιδιοτιμή λ, δηλ. Αх = λx, τότε για οποιονδήποτε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό α έχουμε αx ≠ 0 και Α(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα αx είναι επίσης ένα ιδιοδιάνυσμα για τον γραμμικό τελεστή.

Παρατήρηση 5.1.Συχνά μιλούν για ιδιοτιμές (αριθμοί), φάσμα και ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα . Αυτό σημαίνει το εξής. Ο πίνακας Α τάξης n είναι μήτραμερικοί γραμμικός τελεστήςσε ένα σταθερό βάση, που λειτουργεί σε n-διάστατος γραμμικός χώρος. Για παράδειγμα, αν σταματήσουμε στο τυπική βάση στον γραμμικό αριθμητικό χώρο R n , τότε ο πίνακας A ορίζει έναν γραμμικό τελεστή A, αντιστοιχίζοντας ένα διάνυσμα x ∈ R n με στήλη συντεταγμένων x σε διάνυσμα με στήλη συντεταγμένων Ax. Ο πίνακας Α είναι ακριβώς ο πίνακας Α. Είναι φυσικό να αναγνωρίζουμε έναν τελεστή με τον πίνακα του με τον ίδιο τρόπο όπως ένα αριθμητικό διάνυσμα προσδιορίζεται με μια στήλη των συντεταγμένων του. Αυτή η αναγνώριση, η οποία χρησιμοποιείται συχνά και δεν προσδιορίζεται πάντα, καθιστά δυνατή τη μεταφορά όρων «τελεστή» σε πίνακες.

Το φάσμα ενός γραμμικού τελεστή είναι στενά συνδεδεμένο με αυτόν χαρακτηριστική εξίσωση.

Θεώρημα 5.3.Για να είναι ένας πραγματικός αριθμός λ ιδιοτιμή ενός γραμμικού τελεστή, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης αυτού του τελεστή.

◄ Αναγκαιότητα. Έστω ο αριθμός λ η ιδιοτιμή του γραμμικού τελεστή A: L → L. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα διάνυσμα x ≠ 0 για το οποίο

Ax = λx. (5.2)

Σημειώστε ότι στο L υπάρχει χειριστή ταυτότητας I: Ix = x για οποιοδήποτε διάνυσμα x. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τελεστή, μετασχηματίζουμε την ισότητα (5.2): Ах = λIx, ή

(A - λI)x = 0. (5.3)

Ας γράψουμε τη διανυσματική ισότητα (5.3) σε κάποια βάση β. Ο πίνακας του γραμμικού τελεστή A - λI θα είναι ο πίνακας A - λE, όπου A είναι ο πίνακας του γραμμικού τελεστή A στη βάση b, και E είναι ο πίνακας ταυτότητας, και έστω x η στήλη των συντεταγμένων του ιδιοδιανύσματος x . Τότε x ≠ 0, και η διανυσματική ισότητα (5.3) είναι ισοδύναμη με τον πίνακα

(A - λE)x = 0, (5.4)

που είναι μια μορφή μήτρας καταγραφής ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών αλγεβρικές εξισώσεις(SLAE) με τετράγωνο πίνακα A - λE τάξης n. Αυτό το σύστημα έχει μια μη μηδενική λύση, η οποία είναι η στήλη συντεταγμένων x του ιδιοδιανύσματος x. Επομένως, ο πίνακας A - λE του συστήματος (5.4) έχει μηδενική ορίζουσα, δηλ. det(A - λE) = 0. Αυτό σημαίνει ότι το λ είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης του γραμμικού τελεστή Α.

Επάρκεια. Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι ο παραπάνω συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με αντίστροφη σειρά. Αν το λ είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε σε μια δεδομένη βάση b ισχύει η ισότητα det (A - λE) = 0 Συνεπώς, ο πίνακας του ομοιογενούς SLAE (5.4), που είναι γραμμένος σε μορφή πίνακα, είναι εκφυλισμένος. το σύστημα έχει μη μηδενική λύση x. Αυτή η μη μηδενική λύση είναι ένα σύνολο συντεταγμένων στη βάση b κάποιου μη μηδενικού διανύσματος x για το οποίο ισχύει η ισότητα του διανύσματος (5.3) ή η ισοδύναμη ισότητα του (5.2). Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός λ είναι μια ιδιοτιμή του γραμμικού τελεστή Α.

Κάθε ιδιοτιμή λ του πίνακα (γραμμικός τελεστής) συνδέεται με αυτόν πολλαπλότητα, βάζοντάς το ίσο με την πολλαπλότητα της ρίζας λ της χαρακτηριστικής εξίσωσης αυτού του πίνακα (του γραμμικού αυτού τελεστή).

Το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη ιδιοτιμή ενός γραμμικού τελεστή δεν είναι γραμμικός υποχώρος, αφού αυτό το σετ δεν περιέχει μηδενικό διάνυσμα, το οποίο, εξ ορισμού, δεν μπορεί να είναι σωστό. Αλλά αυτό το επίσημο και εύκολα αφαιρούμενο εμπόδιο είναι το μόνο. Ας συμβολίσουμε με £(A, λ) το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων του γραμμικού τελεστή A στον γραμμικό χώρο L που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, με το μηδενικό διάνυσμα να προστίθεται σε αυτό το σύνολο.

Θεώρημα 5.4.Το σύνολο £(A,λ) είναι ένας γραμμικός υποχώρος στο L.

◄ Ας επιλέξουμε αυθαίρετα δύο διανύσματα x,y ∈ £(A, λ) και ας αποδείξουμε ότι για κάθε πραγματικό α και β το διάνυσμα αχ + βου ανήκει επίσης στο £(A, λ). Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την εικόνα αυτού του διανύσματος υπό τη δράση του γραμμικού τελεστή Α:

Α(αχ + βου) = А((αx) + Α(βου) = αΑχ + βΑου = α(λχ) + β(λυ) = λ(αx) + λ(βου) = λ(αx + βου).

Έτσι, για το διάνυσμα z = αх + βου ισχύει η σχέση Az = λz. Αν το z είναι μηδενικό διάνυσμα, τότε ανήκει στο £(A,λ). Αν είναι μη μηδενικό, τότε, σύμφωνα με την αποδεδειγμένη σχέση, είναι ιδιοτιμή με ιδιοτιμή λ και πάλι ανήκει στο σύνολο £(A, λ).

Ο γραμμικός υποχώρος £(A,λ) ονομάζεται μερικές φορές ιδιουποχώρος του γραμμικού τελεστή *. Είναι ειδική περίπτωση αμετάβλητος υποχώρος γραμμικός τελεστής A - ένας γραμμικός υποχώρος τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε διάνυσμα x ∈ H το διάνυσμα Ax να ανήκει επίσης στο H.

Ένας αμετάβλητος υποχώρος ενός γραμμικού τελεστή είναι επίσης το γραμμικό εύρος οποιουδήποτε συστήματος των ιδιοδιανυσμάτων του. Ένας αμετάβλητος υποχώρος ενός γραμμικού τελεστή που δεν σχετίζεται με τα ιδιοδιανύσματά του είναι εικόνα χειριστή.

Ο απλούστερος γραμμικός τελεστής είναι ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό \(\λάμδα\). Αυτός ο τελεστής απλώς τεντώνει όλα τα διανύσματα κατά \(\λάμδα \) φορές. Η μορφή μήτρας του σε οποιαδήποτε βάση είναι \(diag(\λάμδα ,\λάμδα ,...,\λάμδα)\). Για βεβαιότητα, διορθώνουμε τη βάση \(\(e\)\) στο διανυσματικό χώρο \(\mathit(L)\) και θεωρούμε έναν γραμμικό τελεστή με μια μορφή διαγώνιου πίνακα σε αυτή τη βάση, \(\alpha = diag( \λάμδα _1,\λάμδα _2,...,\λάμδα _n)\). Αυτός ο τελεστής, σύμφωνα με τον ορισμό της φόρμας του πίνακα, εκτείνεται \(e_k\) κατά \(\λάμδα _k\) φορές, δηλ. \(Ae_k=\λάμδα _ke_k\) για όλα τα \(k=1,2,...,n\). Είναι βολικό να δουλέψουμε με διαγώνιους πίνακες είναι εύκολο να κατασκευάσουμε για αυτούς: για οποιαδήποτε συνάρτηση \(f(x)\) μπορούμε να βάλουμε \(f(diag(\λάμδα _1,\λάμδα _2,..., \λάμδα _n))= διάγ(f(\λάμδα _1),f(\λάμδα _2),...,f(\λάμδα _n))\). Έτσι, προκύπτει ένα φυσικό ερώτημα: ας υπάρχει ένας γραμμικός τελεστής \(A\), είναι δυνατόν να επιλεγεί μια τέτοια βάση στον διανυσματικό χώρο έτσι ώστε η μορφή πίνακα του τελεστή \(A\) να είναι διαγώνιος σε αυτή τη βάση; Αυτή η ερώτηση οδηγεί στον ορισμό των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων.

Ορισμός. Έστω για τον γραμμικό τελεστή \(A\) υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα \(u\) και ένας αριθμός \(\λάμδα \) τέτοιος ώστε \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Τότε καλείται το διάνυσμα \(u\). ιδιοδιάνυσμα τελεστής \(A\), και ο αριθμός \(\λάμδα \) - ο αντίστοιχος ιδιοτιμή χειριστής \(A\). Το σύνολο όλων των ιδιοτιμών ονομάζεται φάσμα του γραμμικού τελεστή \(ΕΝΑ\).

Προκύπτει ένα φυσικό πρόβλημα: βρείτε για έναν δεδομένο γραμμικό τελεστή τις ιδιοτιμές του και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Αυτό το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα φάσματος ενός γραμμικού τελεστή.

Εξίσωση ιδιοτιμής

Για βεβαιότητα, καθορίζουμε τη βάση στο διανυσματικό χώρο, δηλ. Θα υποθέσουμε ότι δίνεται μια για πάντα. Στη συνέχεια, όπως συζητήθηκε παραπάνω, η θεώρηση των γραμμικών τελεστών μπορεί να μειωθεί στην θεώρηση πινάκων - μορφών μήτρας γραμμικών τελεστών. Ξαναγράφουμε την εξίσωση (59) με τη μορφή \[ (\άλφα -\λάμδα E)u=0. \] Εδώ \(E\) - μήτρα ταυτότητας, και \(\alpha\) είναι η μορφή πίνακα του γραμμικού τελεστή \(A\). Αυτή η σχέση μπορεί να ερμηνευτεί ως σύστημα \(n\) γραμμικές εξισώσειςγια \(n\) αγνώστους - οι συντεταγμένες του διανύσματος \(u\). Επιπλέον, αυτό είναι ένα ομοιογενές σύστημα εξισώσεων και θα πρέπει να το βρούμε μη τετριμμένολύση. Προηγουμένως, δόθηκε μια προϋπόθεση για την ύπαρξη μιας τέτοιας λύσης - γι 'αυτό είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του συστήματος να είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων. Αυτό συνεπάγεται την εξίσωση για τις ιδιοτιμές: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Ορισμός. Καλείται η εξίσωση (60). χαρακτηριστική εξίσωση για τον γραμμικό τελεστή \(A\).

Ας περιγράψουμε τις ιδιότητες αυτής της εξίσωσης και τις λύσεις της. Αν το γράψεις μέσα ρητά, λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής \[ (-1)^n\λάμδα ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] Στην αριστερή πλευρά υπάρχει ένα πολυώνυμο στη μεταβλητή \(\λάμδα \). Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται αλγεβρικές βαθμού \(n\). Ας δώσουμε απαραίτητες πληροφορίεςσχετικά με αυτές τις εξισώσεις.

Βοήθεια για τις αλγεβρικές εξισώσεις.

Θεώρημα. Ας είναι όλες οι ιδιοτιμές του γραμμικού τελεστή \(A\) πρώτοι. Τότε το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχεί σε αυτές τις ιδιοτιμές αποτελεί τη βάση του διανυσματικού χώρου.

Από τις συνθήκες του θεωρήματος προκύπτει ότι όλες οι ιδιοτιμές του τελεστή \(A\) είναι διαφορετικές. Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, έτσι ώστε να υπάρχουν σταθερές \(c_1,c_2,...,c_n\), που δεν είναι όλες μηδέν, ικανοποιώντας την συνθήκη: \[ \sum_(k=1)^ nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Μεταξύ αυτών των τύπων, ας εξετάσουμε έναν που περιλαμβάνει τον ελάχιστο αριθμό όρων και ας ενεργήσουμε σύμφωνα με αυτόν με τον τελεστή \(A\). Λόγω της γραμμικότητάς του, λαμβάνουμε: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k= 0. \quad \quad(63) \]

Έστω, για βεβαιότητα, \(c_1 \neq 0\). Πολλαπλασιάζοντας το (62) με \(\λάμδα _1\) και αφαιρώντας από το (63), παίρνουμε μια σχέση της μορφής (62), αλλά περιέχει έναν όρο λιγότερο. Η αντίφαση αποδεικνύει το θεώρημα.

Έτσι, υπό τις συνθήκες του θεωρήματος, εμφανίζεται μια βάση που σχετίζεται με έναν δεδομένο γραμμικό τελεστή - τη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του. Ας εξετάσουμε τη μορφή μήτρας του τελεστή σε μια τέτοια βάση. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η \(k\)η στήλη αυτού του πίνακα είναι η αποσύνθεση του διανύσματος \(Au_k\) σε σχέση με τη βάση. Ωστόσο, εξ ορισμού \(Au_k=\lambda _ku_k\), οπότε αυτή η επέκταση (αυτό που γράφεται στη δεξιά πλευρά) περιέχει μόνο έναν όρο και ο κατασκευασμένος πίνακας αποδεικνύεται διαγώνιος. Ως αποτέλεσμα, διαπιστώνουμε ότι υπό τις συνθήκες του θεωρήματος, η μορφή μήτρας του τελεστή στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του είναι ίση με \(diag(\λάμδα _1,\λάμδα _2,...,\λάμδα _n)\ ). Επομένως, εάν είναι απαραίτητο να αναπτυχθεί συναρτητικός λογισμός για έναν γραμμικό τελεστή, είναι λογικό να εργαστεί στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του.

Εάν μεταξύ των ιδιοτιμών ενός γραμμικού τελεστή υπάρχουν πολλαπλάσια, η περιγραφή της κατάστασης γίνεται πιο περίπλοκη και μπορεί να περιλαμβάνει τα λεγόμενα κελιά Jordan. Παραπέμπουμε τον αναγνώστη σε πιο προηγμένα σεμινάρια για σχετικές καταστάσεις.

Οι διαγώνιοι πίνακες έχουν την απλούστερη δομή. Τίθεται το ερώτημα εάν είναι δυνατόν να βρεθεί μια βάση στην οποία ο πίνακας του γραμμικού τελεστή θα έχει διαγώνια μορφή. Μια τέτοια βάση υπάρχει.
Ας μας δοθεί ένας γραμμικός χώρος R n και ένας γραμμικός τελεστής A που ενεργεί σε αυτόν. Σε αυτή την περίπτωση, ο τελεστής A παίρνει το R n στον εαυτό του, δηλαδή, A:R n → R n .

Ορισμός. Ένα μη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του τελεστή Α εάν ο τελεστής Α μεταφράζεται σε συγγραμμικό διάνυσμα, δηλαδή. Ο αριθμός λ ονομάζεται ιδιοτιμή ή ιδιοτιμή του τελεστή Α, που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα.
Ας σημειώσουμε ορισμένες ιδιότητες των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων.
1. Οποιοδήποτε γραμμικός συνδυασμόςιδιοδιανύσματα Ο τελεστής Α που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή λ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή.
2. Ιδιοδιανύσματα Ο τελεστής Α με κατά ζεύγη διαφορετικές ιδιοτιμές λ 1 , λ 2 , …, λ m είναι γραμμικά ανεξάρτητοι.
3. Εάν οι ιδιοτιμές λ 1 =λ 2 = λ m = λ, τότε η ιδιοτιμή λ δεν αντιστοιχεί σε περισσότερα από m γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα.

Έτσι, εάν υπάρχουν n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα , που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές λ 1, λ 2, ..., λ n, τότε είναι γραμμικά ανεξάρτητες, επομένως, μπορούν να ληφθούν ως βάση του χώρου R n. Ας βρούμε τη μορφή του πίνακα του γραμμικού τελεστή Α στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του, για τον οποίο θα ενεργήσουμε με τον τελεστή Α στα διανύσματα βάσης: Επειτα .
Έτσι, ο πίνακας του γραμμικού τελεστή Α στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του έχει μια διαγώνια μορφή και οι ιδιοτιμές του τελεστή Α είναι κατά μήκος της διαγώνιας.
Υπάρχει άλλη βάση στην οποία ο πίνακας έχει διαγώνια μορφή; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα. Ο πίνακας ενός γραμμικού τελεστή Α στη βάση (i = 1..n) έχει διαγώνια μορφή αν και μόνο αν όλα τα διανύσματα της βάσης είναι ιδιοδιανύσματα του τελεστή Α.

Κανόνας για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων

Ας δοθεί ένα διάνυσμα , όπου x 1, x 2, …, x n είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος σε σχέση με τη βάση και είναι το ιδιοδιάνυσμα του γραμμικού τελεστή Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, δηλαδή. Αυτή η σχέση μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας

. (*)

Η εξίσωση (*) μπορεί να θεωρηθεί ως εξίσωση για την εύρεση του , και, δηλαδή, μας ενδιαφέρουν μη τετριμμένες λύσεις, αφού το ιδιοδιάνυσμα δεν μπορεί να είναι μηδέν. Είναι γνωστό ότι μη τετριμμένες λύσεις ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων υπάρχουν αν και μόνο αν det(A - λE) = 0. Έτσι, για να είναι το λ ιδιοτιμή του τελεστή A είναι απαραίτητο και αρκετό το det(A - λE ) = 0.
Εάν η εξίσωση (*) είναι γραμμένη λεπτομερώς σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών ομοιογενών εξισώσεων:

(1)
Οπου - γραμμικός πίνακας χειριστή.

Το σύστημα (1) έχει μη μηδενική λύση αν η ορίζοντή του D είναι ίση με μηδέν

Λάβαμε μια εξίσωση για την εύρεση ιδιοτιμών.
Αυτή η εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση και η αριστερή της πλευρά ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα (τελεστής) Α. Εάν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε ο πίνακας Α δεν έχει ιδιοδιανύσματα και δεν μπορεί να αναχθεί σε διαγώνια μορφή.
Έστω λ 1, λ 2, …, λ n οι πραγματικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, και μεταξύ αυτών μπορεί να υπάρχουν πολλαπλάσια. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές με τη σειρά τους στο σύστημα (1), βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα.

Παράδειγμα 12. Ο γραμμικός τελεστής A δρα στο R 3 σύμφωνα με το νόμο, όπου x 1, x 2, .., x n είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση , , . Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αυτού του τελεστή.
Λύση. Κατασκευάζουμε τη μήτρα αυτού του τελεστή:
.
Δημιουργούμε ένα σύστημα για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των ιδιοδιανυσμάτων:

Συνθέτουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση και τη λύνουμε:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Αντικαθιστώντας το λ = -1 στο σύστημα, έχουμε:
ή
Επειδή , τότε υπάρχουν δύο εξαρτημένες μεταβλητές και μία ελεύθερη μεταβλητή.
Έστω το x 1 ένας ελεύθερος άγνωστος, λοιπόν Λύνουμε αυτό το σύστημα με κάθε τρόπο και βρίσκουμε κοινή απόφασηαυτού του συστήματος: Το σύστημα θεμελιωδών λύσεων αποτελείται από μία λύση, αφού n - r = 3 - 2 = 1.
Το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = -1 έχει τη μορφή: , όπου x 1 είναι οποιοσδήποτε αριθμός διαφορετικός από το μηδέν. Ας επιλέξουμε ένα διάνυσμα από αυτό το σύνολο, για παράδειγμα, βάζοντας x 1 = 1: .
Συλλογίζοντας παρόμοια, βρίσκουμε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 3: .
Στο χώρο R 3, η βάση αποτελείται από τρία γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, αλλά λάβαμε μόνο δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, από τα οποία δεν μπορεί να συντεθεί μια βάση στο R 3. Συνεπώς, δεν μπορούμε να μειώσουμε τον πίνακα Α ενός γραμμικού τελεστή σε διαγώνια μορφή.

Παράδειγμα 13. Δίνεται μια μήτρα .
1. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α. Βρείτε την ιδιοτιμή που αντιστοιχεί σε αυτό το ιδιοδιάνυσμα.
2. Βρείτε μια βάση στην οποία ο πίνακας Α έχει διαγώνια μορφή.
Λύση.
1. Αν , τότε είναι ιδιοδιάνυσμα

.
Το διάνυσμα (1, 8, -1) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα. Ιδιοτιμή λ = -1.
Ο πίνακας έχει μια διαγώνια μορφή σε μια βάση που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα. Ένας από αυτούς είναι διάσημος. Ας βρούμε τα υπόλοιπα.
Αναζητούμε ιδιοδιανύσματα από το σύστημα:

Χαρακτηριστική εξίσωση: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Ας βρούμε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = -3:

Η κατάταξη του πίνακα αυτού του συστήματος είναι δύο και ίση με τον αριθμό των αγνώστων, επομένως αυτό το σύστημα έχει μόνο μηδενική λύση x 1 = x 3 = 0. x 2 εδώ μπορεί να είναι οτιδήποτε άλλο εκτός από μηδέν, για παράδειγμα, x 2 = 1. Έτσι, το διάνυσμα (0 ,1,0) είναι ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε λ = -3. Ας ελέγξουμε:
.
Αν λ = 1, τότε παίρνουμε το σύστημα
Η κατάταξη του πίνακα είναι δύο. Διαγράφουμε την τελευταία εξίσωση.
Έστω x 3 ελεύθερος άγνωστος. Τότε x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Υποθέτοντας x 3 = 1, έχουμε (-3,-9,1) - ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 1. Ελέγξτε:

.
Δεδομένου ότι οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές και διακριτές, τα διανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτές είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επομένως μπορούν να ληφθούν ως βάση στο R3. Έτσι, στη βάση , , Ο πίνακας Α έχει τη μορφή:
.
Δεν μπορεί κάθε πίνακας ενός γραμμικού τελεστή A:R n → R n να αναχθεί σε διαγώνια μορφή, αφού για ορισμένους γραμμικούς τελεστές μπορεί να υπάρχουν λιγότερα από n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Ωστόσο, εάν ο πίνακας είναι συμμετρικός, τότε η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας m αντιστοιχεί ακριβώς σε m γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.

Ορισμός. Ένας συμμετρικός πίνακας ονομάζεται τετραγωνική μήτρα, στην οποία τα συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο στοιχεία είναι ίσα, δηλαδή στην οποία .
Σημειώσεις. 1. Όλες οι ιδιοτιμές ενός συμμετρικού πίνακα είναι πραγματικές.
2. Τα ιδιοδιανύσματα ενός συμμετρικού πίνακα που αντιστοιχεί σε διαφορετικές ιδιοτιμές ανά ζεύγη είναι ορθογώνια.
Ως μία από τις πολλές εφαρμογές της συσκευής που μελετήθηκε, θεωρούμε το πρόβλημα του προσδιορισμού του τύπου μιας καμπύλης δεύτερης τάξης.