ChercherΟικιακές συσκευές Πολλαπλασιασμός πίνακα. Τα στοιχεία του νέου πίνακα λαμβάνονται από τα στοιχεία των παλαιών πινάκων σύμφωνα με τους κανόνες που παρουσιάζονται παρακάτω.

Πίνακες A (\displaystyle A)Και B (\displaystyle B)μπορούν να πολλαπλασιαστούν αν σύμφωνοςμε την έννοια ότι ο αριθμός των στηλών του πίνακα A (\displaystyle A)ίσο με τον αριθμό των γραμμών B (\displaystyle B).

Οι πίνακες έχουν πολλές από τις αλγεβρικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού που μοιράζονται οι συνηθισμένοι αριθμοί, με εξαίρεση την ανταλλαξιμότητα.

Για τετράγωνους πίνακες, εκτός από τον πολλαπλασιασμό, μπορεί να εισαχθεί η λειτουργία της αύξησης ενός πίνακα σε έναν πίνακα ισχύος και αντίστροφο.

Ενώ οι πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν, ειδικότερα, μετασχηματισμούς μαθηματικών χώρων (περιστροφή, ανάκλαση, τέντωμα και άλλα), το γινόμενο των πινάκων θα περιγράψει τη σύνθεση των μετασχηματισμών.

Ορισμός

Έστω δύο ορθογώνιες μήτρες A (\displaystyle A)Και B (\displaystyle B)διαστάσεις l × m (\displaystyle l\φορές m)Και m × n (\displaystyle m\times n)αντίστοιχα:

A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a l 1 a l 2 ⋯ a l m ] , B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 2 b 21 ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ] .

(\displaystyle A=(\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&\cdots &a_(1m)\\a_(21)&a_(22)&\cdots &a_(2m)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(l1)&a_(l2)&\cdots &a_(lm)\end(bmatrix)),\;\;\;B=(\begin(bmatrix)b_(11)&b_( 12)&\cdots &b_(1n)\\b_(21)&b_(22)&\cdots &b_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_(m1)&b_(m2)& \cdots &b_(mn)\end(bmatrix)).) Μετά η μήτρα C (\displaystyle C) διάσταση:

l × n (\displaystyle l\φορές n)

C = [ c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c l 1 c l 2 ⋯ c l n ] , (\displaystyle C=(\begin(bmatrix)&c_(bmatrix)&c_( \cdots &c_(1n)\\c_(21)&c_(22)&\cdots &c_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_(l1)&c_(l2)&\cdots &c_ (ln)\end(bmatrix)),)

στο οποίο:

c i j = ∑ r = 1 m a i r b r j (i = 1, 2, … l; j = 1, 2, … n) . (\displaystyle c_(ij)=\sum _(r=1)^(m)a_(ir)b_(rj)\;\;\;\left(i=1,2,\ldots l;\;j =1,2,\lds n\δεξιά).).

τους κάλεσε εργασίαΗ λειτουργία του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων είναι εφικτή μόνο εάν ο αριθμός των στηλών στον πρώτο παράγοντα είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου. σε αυτή την περίπτωση λένε ότι οι πίνακες

συμφωνηθεί . Συγκεκριμένα, ο πολλαπλασιασμός είναι πάντα εφικτός εάν και οι δύο παράγοντες είναι τετράγωνοι πίνακες της ίδιας τάξης.Έτσι από την ύπαρξη του έργου A B (\displaystyle AB)

η ύπαρξη του έργου δεν ακολουθεί καθόλου

Β Α. (\displaystyle BA.) αποτελείται από όλους τους πιθανούς συνδυασμούς βαθμωτών γινομένων των διανυσμάτων σειρών του πίνακα ΕΝΑ και διάνυσμα στήλης μήτρας σι. Στοιχείο μήτρας (\displaystyle BA.)με ευρετήρια i, jείναι ένα βαθμωτό προϊόν εγώ-η σειρά διάνυσμα του πίνακα ΕΝΑΚαι ιδιάνυσμα ης στήλης του πίνακα σι.

Η εικόνα στα δεξιά δείχνει τον υπολογισμό του γινομένου δύο πινάκων ΕΝΑΚαι σι, δείχνει πώς κάθε τομή σε ένα γινόμενο πίνακα αντιστοιχεί στις σειρές του πίνακα ΕΝΑκαι στήλες μήτρας σι. Το μέγεθος του πίνακα που προκύπτει είναι πάντα το μέγιστο δυνατό, δηλαδή για κάθε σειρά του πίνακα ΕΝΑκαι στήλη μήτρας σιυπάρχει πάντα μια αντίστοιχη τομή στο γινόμενο του πίνακα.

Οι τιμές στις διασταυρώσεις που σημειώνονται με κύκλους θα είναι:

X 1, 2 = (a 1, 1, a 1, 2) ⋅ (b 1, 2, b 2, 2) = a 1, 1 b 1, 2 + a 1, 2 b 2, 2 x 3, 3 = (a 3 , 1 , a 3 , 2) ⋅ (b 1 , 3 , b 2 , 3) ​​= a 3 , 1 b 1 , 3 + a 3 , 2 b 2 , 3 (\displaystyle (\αρχή (στοίχιση )(\χρώμα (Κόκκινο)x_(1,2))&=(a_(1,1),a_(1,2))\cdot (b_(1,2),b_(2,2)) \\ &=a_(1,1)b_(1,2)+a_(1,2)b_(2,2)\\(\χρώμα (Μπλε)x_(3,3))&=(a_(3 ,1 ),a_(3,2))\cdot (b_(1,3),b_(2,3))\\&=a_(3,1)b_(1,3)+a_(3,2 )b_ (2,3)\end(ευθυγραμμισμένο)))

Γενικά, το γινόμενο μήτρας δεν είναι μια ανταλλάξιμη πράξη. Για παράδειγμα:

[ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 4 ] 3 × 4 πίνακας [ ⋅ ⋅ ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ] 4 × 5 μήτρα = [ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x 3 , 4 ⋅ ] 3 × 5 πίνακας (\displaystyle (\overset (3\times 4(\text( matrix)))(\begin(bmatrix &\c)\c \cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\color (Μπλε)1&\color (Blue)2&\color (Blue)3&\color (Blue)4\\\end(bmatrix )))(\overset (4\φορές 5(\text( matrix)))(\begin(bmatrix)\cdot &\cdot &\cdot &\color (Red)a&\cdot \\\cdot &\cdot & \cdot &\color (Κόκκινο)b&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color (Red)c&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color (Red)d&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color (Red)d&\cdot \ \\end(bmatrix)))=(\overset (3\ φορές 5(\text( matrix)))(\begin(bmatrix)\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot & \cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &x_(3,4)&\cdot \\\end(bmatrix))))

Στοιχείο x 3 , 4 (\displaystyle x_(3,4))το γινόμενο των παραπάνω πινάκων υπολογίζεται ως εξής

x 3 , 4 = (1 , 2 , 3 , 4) ⋅ (a , b , c , d) = 1 ⋅ a + 2 ⋅ b + 3 ⋅ c + 4 ⋅ d (\displaystyle x_(3,4)= ((\color (Μπλε)1),(\color (Blue)2),(\color (Blue)3),(\color (Blue)4))\cdot ((\color (Red)a),( \color (Red)b),(\color (Red)c),(\color (Red)d))=(\color (Blue)1)\cdot (\color (Red)a)+(\color ( Μπλε)2)\cdot (\color (Κόκκινο)b)+(\color (Μπλε)3)\cdot (\color (Red)c)+(\color (Blue)4)\cdot (\color (Red) ρε))

Η πρώτη συντεταγμένη στον συμβολισμό του πίνακα υποδηλώνει μια γραμμή, η δεύτερη συντεταγμένη μια στήλη. Αυτή η σειρά χρησιμοποιείται τόσο για ευρετηρίαση όσο και για προσδιορισμό μεγέθους. Στοιχείο x i j (\style display x_((\color (Μπλε)i)(\color (Red)j)))στη διασταύρωση της γραμμής i (\displaystyle i)και στήλη j (\displaystyle j)ο προκύπτων πίνακας είναι το βαθμωτό γινόμενο i (\displaystyle i)η σειρά του πρώτου πίνακα και j (\displaystyle j)η στήλη του δεύτερου πίνακα. Αυτό εξηγεί γιατί το πλάτος και το ύψος των πινάκων που πολλαπλασιάζονται πρέπει να είναι τα ίδια: διαφορετικά το γινόμενο κουκίδων είναι απροσδιόριστο.

Συζήτηση

Ο ευκολότερος τρόπος για να δείτε τους λόγους για τον περιγραφόμενο κανόνα πολλαπλασιασμού πίνακα είναι να εξετάσετε τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν πίνακα.

Το τελευταίο εισάγεται φυσικά με βάση το γεγονός ότι κατά την αποσύνθεση διανυσμάτων σε βάση, η δράση (οποιουδήποτε) γραμμικού τελεστή ΕΝΑδίνει μια έκφραση για τα διανυσματικά συστατικά v" = ΕΝΑv:

v i ′ = ∑ j A i j v j (\displaystyle v"_(i)=\sum \limits _(j)A_(ij)v_(j))

Δηλαδή, ο γραμμικός τελεστής αποδεικνύεται ότι αντιπροσωπεύεται από έναν πίνακα, τα διανύσματα - από διανύσματα στηλών και η δράση του τελεστή σε ένα διάνυσμα - με πολλαπλασιασμό πίνακα του διανύσματος στήλης στα αριστερά με τον πίνακα του τελεστή (αυτό είναι μια ειδική περίπτωση πολλαπλασιασμού πίνακα, όταν ένας από τους πίνακες - το διάνυσμα στήλης - έχει το μέγεθος n × 1 (\displaystyle n\φορές 1)).

(Ομοίως, η μετάβαση σε οποιαδήποτε νέα βάση κατά την αλλαγή συντεταγμένων αντιπροσωπεύεται από μια εντελώς παρόμοια έκφραση, μόνο v i ′ (\displaystyle v"_(i))Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι πλέον τα συστατικά του νέου διανύσματος στην παλιά βάση, αλλά τα συστατικά του παλαιού φορέα στη νέα βάση. συγχρόνως A i j (\displaystyle A_(ij))- στοιχεία του πίνακα μετάβασης σε νέα βάση).

Έχοντας εξετάσει τη διαδοχική ενέργεια σε ένα διάνυσμα δύο τελεστών: πρώτος ΕΝΑ, και μετά σι(ή μετασχηματισμός βάσης ΕΝΑ, και στη συνέχεια ο μετασχηματισμός της βάσης σι), εφαρμόζοντας τον τύπο μας δύο φορές, παίρνουμε:

v i ″ = ∑ j B i j ∑ k A j k v k = ∑ j ∑ k B i j A j k v k = ∑ k ∑ j (B i j A j k) v k , (\displaystyle v""_(i)=\sum \limits _( j)B_(ij)\sum \limits _(k)A_(jk)v_(k)=\sum \limits _(j)\sum \limits _(k)B_(ij)A_(jk)v_(k) )=\sum \limits _(k)\sum \limits _(j)(B_(ij)A_(jk))v_(k),)

από το οποίο είναι σαφές ότι οι συνθέσεις B.A.ενέργειες γραμμικών τελεστών ΕΝΑΚαι σι(ή παρόμοια σύνθεση μετασχηματισμών βάσης) αντιστοιχεί σε έναν πίνακα που υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου των αντίστοιχων πινάκων:

(B A) i k = ∑ j B i j A j k .

(\displaystyle (BA)_(ik)=\sum \limits _(j)B_(ij)A_(jk).)

Το γινόμενο των πινάκων που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο αποδεικνύεται εντελώς φυσικό και προφανώς χρήσιμο (παρέχει έναν απλό και καθολικό τρόπο υπολογισμού των συνθέσεων ενός αυθαίρετου αριθμού γραμμικών μετασχηματισμών).

Σκηνικά θέατρουΑντιστοίχιση ιδιοκτησίας

, συσχετισμός: A (B C) = (A B) C ;

(\displaystyle \mathbf (A) (\mathbf (BC))=(\mathbf (AB))\mathbf (C) ;)α (Α Β) = (α Α) Β = Α (α Β) .

(\displaystyle \alpha (\mathbf (AB))=(\alpha \mathbf (A))\mathbf (B) =\mathbf (A) (\alpha \mathbf (B)).) Διανεμητική ιδιοκτησία. , κατανομή ως προς την προσθήκη:

A (B + C) = A B + A C ; (\displaystyle \mathbf (A) (\mathbf (B) +\mathbf (C))=\mathbf (AB) +\mathbf (AC) ;)(Α + Β) Γ = Α Γ + Β Γ . (\displaystyle (\mathbf (A) +\mathbf (B))\mathbf (C) =\mathbf (AC) +\mathbf (BC) .)Και A B ≠ B A .(\displaystyle \mathbf (AB) \neq \mathbf (BA) .)

Αν

A B = B A (\displaystyle \mathbf (AB) =\mathbf (BA) ) , μετά οι πίνακες A (\displaystyle \mathbf (A) ) B (\displaystyle \mathbf (B) )ονομάζονται μετακίνηση μεταξύ τους. Τα πιο απλά παραδείγματα πινάκων μετακίνησης:Μήτρα A = [ a i k ] (\displaystyle A=\αριστερά)παραγγελία n (\displaystyle n)

είναι μη εκφυλισμένο αν και μόνο αν

det A = det [ a i k ] ≠ 0 ; (\displaystyle \det A=\det \αριστερά\neq 0;)σε αυτή την περίπτωση A − 1 (\displaystyle A^(-1))είναι τετράγωνος πίνακας ίδιας τάξης n: (\displaystyle n:)

A − 1 = [ a i k ] − 1 = [ A k i det A ] , (\displaystyle A^(-1)=\left^(-1)=\left[(\frac (A_(ki))(\det Σωστά],)

Οπου A i k (\displaystyle A_(ik))- αλγεβρικό συμπλήρωμα στοιχείου

• Ο αλγόριθμος του Strassen (1969)

Ο πρώτος αλγόριθμος για γρήγορο πολλαπλασιασμό μεγάλων πινάκων αναπτύχθηκε από τον Volker Strassen το 1969. Ο αλγόριθμος βασίζεται στην αναδρομική κατανομή των πινάκων σε μπλοκ 2Χ2. Ο Strassen απέδειξε ότι οι πίνακες 2Χ2μπορεί να πολλαπλασιαστεί μη-ανταλλάξιμα χρησιμοποιώντας επτά πολλαπλασιασμούς, επομένως κάθε βήμα της αναδρομής εκτελεί επτά πολλαπλασιασμούς αντί για οκτώ. Ως αποτέλεσμα, η ασυμπτωτική πολυπλοκότητα αυτού του αλγορίθμου είναι O (n log 2 ⁡ 7) ≈ O (n 2,81) (\displaystyle O(n^(\log _(2)7))\περίπου O(n^(2,81))). Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η μεγαλύτερη πολυπλοκότητα του προγραμματισμού σε σύγκριση με τον τυπικό αλγόριθμο, η ασθενής αριθμητική σταθερότητα και η μεγαλύτερη ποσότητα μνήμης που χρησιμοποιείται. Με βάση τη μέθοδο Strassen έχει αναπτυχθεί ένας αριθμός αλγορίθμων, οι οποίοι βελτιώνουν την αριθμητική σταθερότητα, τη σταθερή ταχύτητα και άλλα χαρακτηριστικά. Ωστόσο, λόγω της απλότητάς του, ο αλγόριθμος του Strassen παραμένει ένας από τους πρακτικούς αλγόριθμους για τον πολλαπλασιασμό μεγάλων πινάκων. Ο Strassen πρότεινε επίσης την εξής εικασία Strassen: για αυθαίρετα μικρά ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)υπάρχει ένας αλγόριθμος, για αρκετά μεγάλο φυσικό nπου εγγυάται τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων μεγέθους n × n (\displaystyle n\times n)για O (n 2 + ε) (\displaystyle O(n^(2+\varepsilon )))επιχειρήσεις.

• Περαιτέρω βελτιώσεις στον εκθέτη ω για ταχύτητα πολλαπλασιασμού πίνακα

Στη συνέχεια, οι εκτιμήσεις της ταχύτητας πολλαπλασιασμού μεγάλων πινάκων βελτιώθηκαν πολλές φορές. Ωστόσο, αυτοί οι αλγόριθμοι ήταν θεωρητικοί, ως επί το πλείστον κατά προσέγγιση. Λόγω της αστάθειας των κατά προσέγγιση αλγορίθμων πολλαπλασιασμού, επί του παρόντος δεν χρησιμοποιούνται στην πράξη.

• Pan's Algorithm (1978)

Το 1978, ο Παν πρότεινε τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού πινάκων, η πολυπλοκότητα της οποίας ήταν Θ(n 2.78041).

• Beanie's Algorithm (1979)

Το 1979, μια ομάδα Ιταλών επιστημόνων με επικεφαλής τον Bini ανέπτυξε έναν αλγόριθμο για τον πολλαπλασιασμό πινάκων χρησιμοποιώντας τανυστές. Η πολυπλοκότητά του είναι Θ(n 2,7799).

• Schönhage Algorithms (1981)

Το 1981, ο Schönhage παρουσίασε μια μέθοδο που λειτουργούσε με ταχύτητα Θ(n 2.695). Η εκτίμηση ελήφθη χρησιμοποιώντας μια προσέγγιση που ονομάζεται μερικός πολλαπλασιασμός πίνακα. Αργότερα κατάφερε να πάρει αξιολόγηση Θ(n 2.6087). Στη συνέχεια, Schonhage στη βάσημέθοδος άμεσου αθροίσματος έλαβε βαθμολογία δυσκολίαςΘ(n 2.548) . Ο Ρομάνι κατάφερε να μειώσει το σκορ σεΘ(n 2,5166) , και Παν - να.

• Θ(n 2,5161)

Αλγόριθμος Coppersmith-Winograd (1990)

Το 1990 οι Coppersmith and Winograd

Ανεβάζοντας μια μήτρα σε δύναμη.

Έστω k μη αρνητικός ακέραιος. Για κάθε τετραγωνικό πίνακα $A_(n\times n)$ έχουμε: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; φορές) $$

Σε αυτήν την περίπτωση, υποθέτουμε ότι $A^0=E$, όπου το $E$ είναι ο πίνακας ταυτότητας της αντίστοιχης σειράς.

Παράδειγμα αρ. 4

Δίνεται ένας πίνακας $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Βρείτε τους πίνακες $A^2$ και $A^6$.

Σύμφωνα με τον ορισμό, $A^2=A\cdot A$, δηλ. για να βρούμε το $A^2$, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα $A$ μόνος του. Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού του πίνακα συζητήθηκε στο πρώτο μέρος του θέματος, επομένως εδώ θα γράψουμε απλώς τη διαδικασία λύσης χωρίς λεπτομερείς εξηγήσεις:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

Για να βρούμε τον πίνακα $A^6$ έχουμε δύο επιλογές. Επιλογή πρώτη: είναι ασήμαντο να συνεχίσετε να πολλαπλασιάζετε το $A^2$ με τον πίνακα $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Ωστόσο, μπορείτε να ακολουθήσετε μια ελαφρώς απλούστερη διαδρομή, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα συσχέτισης του πολλαπλασιασμού πίνακα. Ας βάλουμε παρενθέσεις στην έκφραση για $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Εάν η επίλυση της πρώτης μεθόδου θα απαιτούσε τέσσερις πράξεις πολλαπλασιασμού, τότε η δεύτερη μέθοδος θα απαιτούσε μόνο δύο. Επομένως, ας πάμε στον δεύτερο τρόπο:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ start(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( πίνακας) \δεξιά)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Απάντηση: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

Παράδειγμα Νο. 5

Δίνονται πίνακες $ A=\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end (πίνακας) \δεξιά)$, $ B=\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (πίνακας) \δεξιά)$, $ C=\left(\begin(array) (cccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ δεξιά) $. Βρείτε τον πίνακα $D=2AB-3C^T+7E$.

Ξεκινάμε τον υπολογισμό του πίνακα $D$ βρίσκοντας το αποτέλεσμα του γινομένου $AB$. Οι πίνακες $A$ και $B$ μπορούν να πολλαπλασιαστούν, αφού ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα $B$. Ας συμβολίσουμε $F=AB$. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας $F$ θα έχει τρεις στήλες και τρεις σειρές, δηλ. θα είναι τετράγωνο (αν αυτό το συμπέρασμα δεν φαίνεται προφανές, δείτε την περιγραφή του πολλαπλασιασμού πινάκων στο πρώτο μέρος αυτού του θέματος). Ας βρούμε τον πίνακα $F$ υπολογίζοντας όλα τα στοιχεία του:

$$ F=A\cdot B=\left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(ευθυγραμμισμένο) $$

Άρα $F=\left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Ας πάμε παρακάτω. Ο πίνακας $C^T$ είναι ο μεταφερόμενος πίνακας για τον πίνακα $C$, δηλ. $ C^T=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Όσο για τον πίνακα $E$, είναι ο πίνακας ταυτότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά αυτού του πίνακα είναι τρεις, δηλ. $E=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Κατ 'αρχήν, μπορούμε να συνεχίσουμε να προχωράμε βήμα-βήμα, αλλά είναι καλύτερο να εξετάσουμε την υπόλοιπη έκφραση ως σύνολο, χωρίς να αποσπάται η προσοχή από βοηθητικές ενέργειες. Στην πραγματικότητα, μας μένουν μόνο οι πράξεις του πολλαπλασιασμού των πινάκων με έναν αριθμό, καθώς και οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ δεξιά)+7\cdot \left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Ας πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες στη δεξιά πλευρά της ισότητας με τους αντίστοιχους αριθμούς (δηλαδή με το 2, το 3 και το 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ start(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$

Ας εκτελέσουμε τα τελευταία βήματα: αφαίρεση και πρόσθεση:

$$ \left(\begin(array) (cccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (πίνακας) (cccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (cccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(πίνακας) \δεξιά). $$

Το πρόβλημα επιλύθηκε, $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Απάντηση: $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Παράδειγμα αρ. 6

Έστω $f(x)=2x^2+3x-9$ και μήτρα $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Βρείτε την τιμή του $f(A)$.

Αν $f(x)=2x^2+3x-9$, τότε το $f(A)$ νοείται ως ο πίνακας:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Έτσι ορίζεται ένα πολυώνυμο σε έναν πίνακα. Επομένως, πρέπει να αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A$ στην έκφραση για $f(A)$ και να πάρουμε το αποτέλεσμα. Δεδομένου ότι όλες οι ενέργειες συζητήθηκαν λεπτομερώς νωρίτερα, εδώ θα δώσω απλώς τη λύση. Εάν η διαδικασία εκτέλεσης της πράξης $A^2=A\cdot A$ δεν σας είναι ξεκάθαρη, τότε σας συμβουλεύω να δείτε την περιγραφή του πολλαπλασιασμού του πίνακα στο πρώτο μέρος αυτού του θέματος.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end (πίνακας) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Απάντηση: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

Γραμμική άλγεβρα για ανδρείκελα

Για να μελετήσετε τη γραμμική άλγεβρα, μπορείτε να διαβάσετε και να εμβαθύνετε στο βιβλίο "Πίνακες και ορίζοντες" του I. V. Belousov. Ωστόσο, είναι γραμμένο σε αυστηρή και στεγνή μαθηματική γλώσσα, την οποία δύσκολα αντιλαμβάνονται άτομα με μέση νοημοσύνη. Ως εκ τούτου, έκανα μια επανάληψη των πιο δυσνόητων τμημάτων αυτού του βιβλίου, προσπαθώντας να παρουσιάσω το υλικό όσο το δυνατόν πιο καθαρά, χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν περισσότερα σχέδια. Έχω παραλείψει τις αποδείξεις των θεωρημάτων. Ειλικρινά, δεν εμβαθύνω σε αυτά ο ίδιος. Πιστεύω κύριε Μπελούσοφ! Αν κρίνουμε από τη δουλειά του, είναι ικανός και ευφυής μαθηματικός. Μπορείτε να κατεβάσετε το βιβλίο του στο http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfΕάν πρόκειται να εμβαθύνετε στη δουλειά μου, πρέπει να το κάνετε αυτό, γιατί θα αναφέρομαι συχνά στον Μπελούσοφ.

Ας ξεκινήσουμε με τους ορισμούς. Τι είναι μια μήτρα; Αυτός είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών, συναρτήσεων ή αλγεβρικών παραστάσεων. Γιατί χρειάζονται οι πίνακες; Διευκολύνουν πολύ τους σύνθετους μαθηματικούς υπολογισμούς. Ο πίνακας μπορεί να έχει γραμμές και στήλες (Εικ. 1).

Οι γραμμές και οι στήλες αριθμούνται ξεκινώντας από τα αριστερά

από πάνω (Εικ. 1-1). Όταν λένε: μια μήτρα μεγέθους m n (ή m επί n), εννοούν m αριθμός γραμμών, και κάτω n αριθμός στηλών. Για παράδειγμα, ο πίνακας στο Σχήμα 1-1 είναι 4 επί 3, όχι 3 επί 4.

Κοιτάξτε το σχ. 1-3, τι πίνακες υπάρχουν. Εάν ένας πίνακας αποτελείται από μία γραμμή, ονομάζεται πίνακας γραμμής, και εάν αποτελείται από μία στήλη, τότε ονομάζεται πίνακας στήλης. Ένας πίνακας ονομάζεται τετράγωνο της τάξης n αν ο αριθμός των σειρών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών και ίσος με n. Εάν όλα τα στοιχεία ενός πίνακα είναι μηδέν, τότε αυτός είναι μηδενικός πίνακας. Ένας τετράγωνος πίνακας ονομάζεται διαγώνιος εάν όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με μηδέν, εκτός από αυτά που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο.

Θα εξηγήσω αμέσως ποια είναι η κύρια διαγώνιος. Οι αριθμοί σειρών και στηλών σε αυτό είναι οι ίδιοι. Πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά από πάνω προς τα κάτω. (Εικ. 3) Τα στοιχεία ονομάζονται διαγώνια αν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο. Εάν όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα (και τα υπόλοιπα είναι ίσα με μηδέν), ο πίνακας ονομάζεται ταυτότητα. Δύο πίνακες Α και Β ίδιου μεγέθους λέγονται ίσοι αν όλα τα στοιχεία τους είναι ίδια.

2 Πράξεις σε πίνακες και τις ιδιότητές τους

Το γινόμενο ενός πίνακα και ενός αριθμού x είναι ένας πίνακας του ίδιου μεγέθους. Για να αποκτήσετε αυτό το γινόμενο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε στοιχείο με αυτόν τον αριθμό (Εικόνα 4). Για να λάβετε το άθροισμα δύο πινάκων του ίδιου μεγέθους, πρέπει να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία τους (Εικ. 4). Για να πάρετε τη διαφορά Α - Β δύο πινάκων του ίδιου μεγέθους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον πίνακα Β με -1 και να προσθέσετε τον πίνακα που προκύπτει με τον πίνακα Α (Εικ. 4). Για πράξεις σε πίνακες ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: A+B=B+A (ιδιότητα commutativity).

(Α + Β)+Γ = Α+(Β + Γ) (ιδιότητα συσχέτισης). Με απλά λόγια, η αλλαγή των θέσεων των όρων δεν αλλάζει το άθροισμα. Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν για πράξεις σε πίνακες και αριθμούς:

(σημειώστε τους αριθμούς με τα γράμματα x και y και τους πίνακες με τα γράμματα A και B) x(yA)=(xy)A

Αυτές οι ιδιότητες είναι παρόμοιες με τις ιδιότητες που ισχύουν για πράξεις σε αριθμούς. Ματιά

παραδείγματα στην Εικόνα 5. Δείτε επίσης παραδείγματα 2.4 - 2.6 από τον Μπελούσοφ στη σελίδα 9.

Πολλαπλασιασμός πίνακα.

Ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων ορίζεται μόνο εάν (μεταφρασμένο στα ρωσικά: οι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μόνο εάν) όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα στο γινόμενο είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου (Εικ. 7, παραπάνω, μπλε αγκύλες). Για να σας βοηθήσουμε να θυμάστε: ο αριθμός 1 μοιάζει περισσότερο με στήλη.Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας πίνακας μεγέθους (βλ. Εικόνα 6). Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τι, προτείνω τον ακόλουθο αλγόριθμο: δείτε το σχήμα 7. Πολλαπλασιάστε τον πίνακα A με τον πίνακα B.

πίνακας Α δύο στηλών,

Ο πίνακας Β έχει δύο σειρές - μπορείτε να πολλαπλασιάσετε.

1) Ας ασχοληθούμε με την πρώτη στήλη του πίνακα Β (είναι η μόνη που έχει). Γράφουμε αυτή τη στήλη σε μια γραμμή (transpose

στήλη σχετικά με τη μεταφορά παρακάτω).

2) Αντιγράφουμε αυτή τη γραμμή έτσι ώστε να λάβουμε έναν πίνακα στο μέγεθος του πίνακα Α.

3) Πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία αυτού του πίνακα με τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα Α.

4) Προσθέτουμε τα προϊόντα που προκύπτουν σε κάθε γραμμή και παίρνουμεέναν πίνακα προϊόντος δύο σειρών και μιας στήλης.

Το Σχήμα 7-1 δείχνει παραδείγματα πολλαπλασιαστικών πινάκων που έχουν μεγαλύτερο μέγεθος.

1) Εδώ ο πρώτος πίνακας έχει τρεις στήλες, που σημαίνει ότι ο δεύτερος πρέπει να έχει τρεις σειρές. Ο αλγόριθμος είναι ακριβώς ο ίδιος όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, μόνο που εδώ υπάρχουν τρεις όροι σε κάθε γραμμή, όχι δύο.

2) Εδώ ο δεύτερος πίνακας έχει δύο στήλες. Πρώτα εκτελούμε τον αλγόριθμο με την πρώτη στήλη, μετά με τη δεύτερη και παίρνουμε έναν πίνακα δύο προς δύο.

3) Εδώ ο δεύτερος πίνακας έχει μια στήλη που αποτελείται από ένα στοιχείο η στήλη δεν θα αλλάξει λόγω μεταφοράς. Και δεν χρειάζεται να προσθέσετε τίποτα, αφού ο πρώτος πίνακας έχει μόνο μία στήλη. Εκτελούμε τον αλγόριθμο τρεις φορές και παίρνουμε έναν πίνακα τρεις προς τρεις.

Πραγματοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

1. Αν υπάρχει το άθροισμα Β + Γ και το γινόμενο ΑΒ, τότε Α (Β + Γ) = ΑΒ + AC

2. Εάν υπάρχει το γινόμενο ΑΒ, τότε x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Εάν υπάρχουν τα γινόμενα AB και BC, τότε A (BC) = (AB) C.

Εάν υπάρχει το γινόμενο μήτρας AB, τότε το γινόμενο μήτρας BA ενδέχεται να μην υπάρχει. Ακόμα κι αν υπάρχουν τα προϊόντα AB και BA, μπορεί να αποδειχθούν πίνακες διαφορετικών μεγεθών.

Και τα δύο προϊόντα ΑΒ και ΒΑ υπάρχουν και είναι πίνακες ίδιου μεγέθους μόνο στην περίπτωση τετραγωνικών πινάκων Α και Β ίδιας τάξης. Ωστόσο, ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση, το ΑΒ μπορεί να μην είναι ίσο με το ΒΑ.

Εκθεσιμότητα

Η αύξηση ενός πίνακα σε μια ισχύ έχει νόημα μόνο για τετράγωνους πίνακες (σκέψου γιατί;). Τότε η θετική ακέραια ισχύς m του πίνακα A είναι το γινόμενο m πινάκων ίσων με A. Το ίδιο όπως και για τους αριθμούς. Με τον μηδενικό βαθμό ενός τετραγωνικού πίνακα A εννοούμε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης με τον A. Εάν έχετε ξεχάσει τι είναι ο πίνακας ταυτότητας, δείτε το Σχ. 3.

Όπως και με τους αριθμούς, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Δείτε παραδείγματα από τον Μπελούσοφ στη σελίδα 20.

Μεταφορά πινάκων

Transpose είναι ο μετασχηματισμός του πίνακα Α στον πίνακα AT,

στον οποίο οι σειρές του πίνακα Α γράφονται στις στήλες ΑΤ διατηρώντας τη σειρά. (Εικ. 8). Μπορείς να το πεις και αλλιώς:

Οι στήλες του πίνακα Α γράφονται στις σειρές του πίνακα ΑΤ, διατηρώντας τη σειρά. Παρατηρήστε πώς η μεταφορά αλλάζει το μέγεθος του πίνακα, δηλαδή τον αριθμό των σειρών και των στηλών. Σημειώστε επίσης ότι τα στοιχεία στην πρώτη γραμμή, την πρώτη στήλη και την τελευταία γραμμή, την τελευταία στήλη παραμένουν στη θέση τους.

Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: (AT )T =A (μεταφορά

μήτρα δύο φορές - παίρνετε τον ίδιο πίνακα)

(xA)T =xAT (με x εννοούμε έναν αριθμό, με το Α, φυσικά, έναν πίνακα) (εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό και να μεταφέρετε, μπορείτε πρώτα να πολλαπλασιάσετε, μετά να μεταφέρετε ή το αντίστροφο )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί πίνακες

Το Σχήμα 9, επάνω αριστερά, δείχνει έναν συμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία του, συμμετρικά σε σχέση με την κύρια διαγώνιο, είναι ίσα. Και τώρα ο ορισμός: Τετράγωνη μήτρα

Το Α λέγεται συμμετρικό αν ΑΤ =Α. Δηλαδή, ένας συμμετρικός πίνακας δεν αλλάζει όταν μετατίθεται. Συγκεκριμένα, κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συμμετρικός. (Ένας τέτοιος πίνακας φαίνεται στο Σχ. 2).

Τώρα κοιτάξτε τον αντισυμμετρικό πίνακα (Εικ. 9, παρακάτω). Σε τι διαφέρει από το συμμετρικό; Σημειώστε ότι όλα τα διαγώνια στοιχεία του είναι μηδέν. Οι αντισυμμετρικοί πίνακες έχουν όλα τα διαγώνια στοιχεία ίσα με μηδέν. Σκεφτείτε γιατί; Ορισμός: Ο τετράγωνος πίνακας Α ονομάζεται

αντισυμμετρικό αν ΑΤ = -Α. Ας σημειώσουμε μερικές ιδιότητες των πράξεων σε συμμετρικό και αντισυμμετρικό

μήτρες. 1. Αν οι Α και Β είναι συμμετρικοί (αντισύμμετροι) πίνακες, τότε το Α + Β είναι συμμετρικός (αντισύμμετρος) πίνακας.

2.Αν το Α είναι συμμετρικός (αντισυμμετρικός) πίνακας, τότε το xA είναι επίσης συμμετρικός (αντισύμμετρος) πίνακας. (στην πραγματικότητα, αν πολλαπλασιάσετε τους πίνακες από το σχήμα 9 με κάποιο αριθμό, η συμμετρία θα διατηρηθεί)

3. Το γινόμενο ΑΒ δύο συμμετρικών ή δύο αντισυμμετρικών πινάκων Α και Β είναι συμμετρικός πίνακας για AB = BA και αντισυμμετρικός για AB =-ΒΑ.

4. Αν το Α είναι συμμετρικός πίνακας, τότε ο ΑΤο m (m = 1, 2, 3, . . . .) είναι ένας συμμετρικός πίνακας. Αν ο Α

Ένας αντισυμμετρικός πίνακας, στη συνέχεια Am (m = 1, 2, 3, ...) είναι συμμετρικός πίνακας για άρτιο m και αντισυμμετρικός για περιττό.

5. Ένας αυθαίρετος τετραγωνικός πίνακας Α μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δύο πινάκων. (ας ονομάσουμε αυτούς τους πίνακες, για παράδειγμα A(s) και A(a) )

A=A (s)+A (a)