Медианный фильтр на службе разработчика. Медианный фильтр

Медианная фильтрация – метод нелинейной обработки сигналов, разработанный Тьюки. Этот метод оказывается полезным при подавлении шума на изображении. Одномерный медианный фильтр представляет собой скользящее окно, охватывающее нечетное число элементов изображения. Центральный элемент заменяется медианой всех элементов в окне. Медианой дискретной последовательности для нечетного N является тот ее элемент, для которого существуют элементов, меньших или равных ему по величине, и элементов, больших или равных ему по величине.

Пусть в окно попали элементы изображения с уровнями 80, 90, 200, 110 и 120; в этом случае центральный элемент следует заменить значением 110, которое является медианой упорядоченной последовательности 80, 90, 110, 200. Если в этом примере значение 200 является шумовым выбросом в монотонно возрастающей последовательности, то медианная фильтрация обеспечит существенное улучшение. Напротив, если значение 200 соответствует полезному импульсу сигнала (при использовании широкополосных датчиков), то обработка приведет к потере четкости воспроизводимого изображения. Таким образом, медианный фильтр в одних случаях обеспечивает подавление шума, в других вызывает нежелательное подавление сигнала.

Рассмотрим воздействие медианного и усредняющего (сглаживающего) фильтров с пятиэлементным окном на ступенчатый, пилообразный, импульсный и треугольный дискретные сигналы (рис. 4.23). Из этих диаграмм, видно, что медианный фильтр не влияет на ступенчатые или пилообразные функции, что обычно является желательным свойством. Однако этот фильтр подавляет импульсные сигналы, длительность которых

составляет менее половины ширины окна. Фильтр также вызывает уплощение вершины треугольной функции.

Возможности анализа действия медианного фильтра ограничены. Можно показать, что медиана произведения постоянной и последовательности равна:

кроме того,

Однако медиана суммы двух произвольных последовательностей и не равна сумме их медиан:

Это неравенство можно проверить на примере последовательностей 80, 90, 100, 110, 120 и 80, 90, 100, 90, 80.

Возможны различные стратегии применения медианного фильтра для подавления шумов. Одна из них рекомендует начинать с медианного фильтра, окно которого охватывает три элемента изображения. Если ослабление сигнала незначительно, окно фильтра расширяют до пяти элементов. Так поступают до тех пор, пока медианная фильтрация начинает приносить больше вреда, чем пользы.

Другая возможность состоит в осуществлении каскадной медианной фильтрации сигнала с использованием фиксированной или изменяемой ширины окна. В общем слу

чае те области, которые остаются без изменения после однократной обработки фильтром, не меняются и после повторной обработки. Области, в которых длительность импульсных сигналов составляет менее половины ширины окна, будут подвергаться изменениям после каждого цикла обработки.

Концепцию медианного фильтра легко обобщить на два измерения, применяя двумерное окно желаемой формы, например прямоугольное или близкое к круговому. Очевидно, что двумерный медианный фильтр с окном размера обеспечивает более эффективное подавление шума, чем последовательно примененные горизонтальный и вертикальный одномерные медианные фильтры с окном размера . Двумерная обработка, однако, приводит к более существенному ослаблению сигнала.

Медианная фильтрация - метод нелинейной обработки сигналов, разработанный Тьюки . Этот метод оказывается полезным при подавлении шума на изображении. Одномерный медианный фильтр представляет собой скользящее окно, охватывающее нечетное число элементов, изображения. Центральный элемент заменяется медианой всех элементов изображения в окне. Медианой дискретной последовательности для нечетного является тот ее элемент, для которого существуют элементов, меньших или равных ему по величине, и элементов, больших или равных ему по величине. Пусть в окно попали элементы изображения с уровнями 80, 90, 200, 110 и 120; в этом случае центральный элемент следует заменить значением 110, которое является медианой упорядоченной последовательности 80, 90, 110, 120, 200. Если в этом примере значение 200 является шумовым выбросом в монотонно возрастающей последовательности, то медианная фильтрация обеспечит существенное улучшение. Напротив, если значение 200 соответствует полезному импульсу сигнала (при использовании широкополосных датчиков), то обработка приведет к потере четкости воспроизводимого изображения. Таким образом, медианный фильтр в одних случаях обеспечивает подавление шума, в других - вызывает нежелательное подавление сигнала.

На рис. 12.6.1 показано воздействие медианного и усредняющего (сглаживающего) фильтров с пятиэлементным окном на ступенчатый, пилообразный, импульсный и треугольный дискретные сигналы. Из этих диаграмм видно, что медианный фильтр не влияет на ступенчатые или пилообразные функции, что обычно является желательным свойством. Однако этот фильтр подавляет импульсные сигналы, длительность которых составляет менее половины ширины окна. Фильтр также вызывает уплощение вершины треугольной функции.

Рис. 12.6.1. Примеры медианной фильтрации простейших дискретных сигналов, .

а - ступенчатый переход: б - пилообразный переход; в - одиночный импульс; е - сдвоенный импульс; д - строенный импульс; е - треугольный сигнал.

Возможности анализа действия медианного фильтра ограничены. Можно показать, что медиана произведения постоянной и последовательности равна

Кроме того,

Однако медиана суммы двух произвольных последовательностей и не равна сумме их медиан:

Это неравенство можно проверить на примере последовательностей 80, 90, 100, 110, 120 и 80, 90, 100, 90, 80.

Возможны различные стратегии применения медианного фильтра для подавления шумов. Одна из них рекомендует начинать с медианного фильтра, окно которого охватывает три элемента изображения. Если ослабление сигнала незначительно, окно фильтра расширяют до пяти элементов. Так поступают до тех пор, пока медианная фильтрация начинает приносить больше вреда, чем пользы. Другая возможность состоит в осуществлении каскадной медианной фильтрации сигнала с использованием фиксированной или изменяемой ширины окна. В общем случае те области, которые остаются без изменения после однократной обработки фильтром, не меняются и после повторной обработки. Области, в которых длительность импульсных сигналов составляет менее половины ширины окна, будут подвергаться изменениям после каждого цикла обработки.

Концепцию медианного фильтра легко обобщить на два измерения, применяя двумерное окно желаемой формы, например прямоугольное или близкое к круговому. Очевидно, что двумерный медианный фильтр с окном размера обеспечивает более эффективное подавление шума, чем последовательно примененные горизонтальный и вертикальный одномерные медианные фильтры с окном размера ; двумерная обработка, однако, приводит к более существенному ослаблению сигнала. На рис. 12.6.2 показано влияние двумерной медианной фильтрации на пространственный импульсный сигнал. Использовались фильтры с окнами двух типов: квадратным размера и крестообразным размера . Как видно, медианный фильтр с квадратным окном разрушил углы изображенного квадрата, а фильтр с крестообразным окном оставил его без изменения.

Рис. 12.6.2. Примеры двумерной медианной фильтрации

На рис. 12.6.3 и 12.6.4 представлены образцы изображений, подвергнутых медианной фильтрации с целью подавления шумов. Как видно, медианный фильтр более эффективно подавляет разрозненные импульсные помехи, чем гладкие шумы. Медианную фильтрацию изображений в целях подавления шумов следует считать эвристическим методом. Ее нельзя применять вслепую. Напротив, следует проверять получаемые результаты, чтобы убедиться в целесообразности медианной фильтрации.

Рис. 12.6.3. Образцы изображений, обработанных одномерным медианным фильтром с целью подавления импульсных помех.

а - исходное изображение с импульсными помехами (15 искаженных элементов в каждой строке); б - результат медианной фильтрации при ; в - результат медианной фильтрации при ; г - результат медианной фильтрации при .

Рис. 12.6.4. Образцы изображений, обработанных одномерным медианным фильтром с целью подавления гауссова шума.

а - исходное изображение с гауссовым шумом ; б - результат медианной фильтрации при ; в - результат медианной фильтрации при ; г - результат медианной фильтрации при .

Медианные фильтры достаточно часто применяются на практике, как средство предварительной обработки цифровых данных. Специфической особенностью и основным достоинством таких фильтров является слабая реакция на отсчеты, резко выделяющиеся на фоне соседних, что позволяет применять медианную фильтрацию для устранения аномальных значений в массивах данных. Характерной особенностью медианного фильтра является его нелинейность. Во многих случаях применение медианного фильтра оказывается более эффективным по сравнению с линейными фильтрами, поскольку процедуры линейной обработки данных являются оптимальными при гауссовом распределении помех, что не всегда характерно для реальных сигналов. В случаях, когда перепады значений сигналов велики по сравнению с дисперсией гауссовского шума, медианный фильтр дает меньшее значение среднеквадратической ошибки выходного сигнала в отношении к входному, незашумленному сигналу при сравнении с оптимальными линейными фильтрами.

Медианный фильтр представляет собой оконный фильтр, последовательно скользящий по массиву сигнала, и возвращающий на каждом шаге один из элементов, попавших в окно (апертуру) фильтра. Выходной сигнал y k скользящего медианного фильтра шириной n для текущего отсчета k формируется из входного временного ряда …, x k -1 , x k , x k +1 ,… в соответствии с формулой:

y k = Me(x k-(n-1)/2 ,…, x k ,…,x k+(n-1)/2 ) ,

где Me(x 1 ,…,x n ) = x ((n+1)/2) – элементы вариационного ряда, т.е. ранжированные в порядке возрастания значений x 1 = min (x 1 ,…, x n ) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤ … ≤ x n = max (x 1 ,…, x n ) . Ширина медианного фильтра выбирается с учетом того, что он способен подавить импульс шириной (n-1)/2 отсчетов, при условии, что n – нечетное число.

Таким образом, медианная фильтрация реализуется в виде процедуры локальной обработки отсчетов в скользящем окне, которое включает определенное число отсчетов сигнала. Для каждого положения окна выделенные в нем отсчеты ранжируются по возрастанию или убыванию значений. Средний по своему положению отсчет в ранжированном списке называется медианой рассматриваемой группы отсчетов, если число отсчетов нечетно. Этим отсчетом заменяется центральный отсчет в окне для обрабатываемого сигнала. При четном количестве отсчетов медиана устанавливается, как среднее арифметическое двух средних отсчетов. В качестве начальных и конечных условий фильтрации обычно принимается текущее значение сигнала, либо медиана находится только для тех точек, которые вписываются в пределы апертуры.

Благодаря свои характеристикам, медианные фильтры при оптимально выбранной апертуре могут сохранять без искажений резкие границы объектов, подавляя некоррелированные и слабо коррелированные помехи и малоразмерные детали. Ваналогичных условиях алгоритмы линейной фильтрации неизбежно «смазывают» резкие границы и контуры объектов.

Достоинства медианных фильтров.

Простая структура фильтра, как для аппаратной, так и для программной реализации.

Фильтр не изменяет ступенчатые и пилообразные функции.

Фильтр хорошо подавляет одиночные импульсные помехи и случайные шумовые выбросы отсчетов.

Недостатки медианных фильтров.

Медианная фильтрация нелинейна, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан, что в ряде случаев может усложнять математический анализ сигналов.

Фильтр вызывает уплощение вершин треугольных функций.

Подавление белого и гауссового шума менее эффективно, чем у линейных фильтров. Слабая эффективность наблюдается также при фильтрации флюктуационного шума.

При увеличении размеров окна фильтра происходит размытие крутых изменений сигнала и скачков.

Недостатки метода можно уменьшить, если применять медианную фильтрацию с адаптивным изменением размера окна фильтра в зависимости от динамики сигнала и характера шумов (адаптивная медианная фильтрация). В качестве критерия размера окна можно использовать, например, величину отклонения значений соседних отсчетов относительно центрального ранжированного отсчета /1i/. При уменьшении этой величины ниже определенного порога размер окна увеличивается.

Медианный фильтр реализует нелинейную процедуру подавления шумов. Медианный фильтр представляет собой скользящее по полю изображения окно W, охватывающее нечетное число отсчетов. Центральный отсчет заменяется медианой всех элементов изображения, попавших в окно. Медианой дискретной последовательности x1, x2, ..., xL для нечетного L называют такой ее элемент, для которого существуют (L ? 1)/2 элементов, меньших или равных ему по величине, и (L ? 1)/2 элементов, больших или равных ему по величине. Другими словами, медианой является средний по порядку член ряда, получающегося при упорядочении исходной последовательности.

Например, med(20, 10, 3, 7, 7) = 7.

Двумерный медианный фильтр с окном W определим следующим образом:

Медианный фильтр используется для подавления аддитивного и импульсного шумов на изображении. Характерной особенностью медианного фильтра является сохранение перепадов яркости (контуров). Особенно эффективным медианный фильтр является в случае импульсного шума. На показано воздействие сглаживающего и медианного фильтров с трехэлементным окном на зашумленный аддитивным шумом перепад яркости для одномерного сигнала.

Что касается импульсного шума, то, медианный фильтр с окном 3 x 3 полностью подавляет одиночные выбросы на равномерном фоне, а также группы из двух, трех и четырех импульсных выбросов. В общем случае для подавления группы импульсных помех размеры окна должны быть по меньшей мере вдвое больше размеров группы помех.

Среди медианных фильтров с окном 3х3 наиболее распространены следующие:

Координаты представленных масок означают, сколько раз соответствующий пиксель входит в описанную выше упорядоченную последовательность.

Одним из эффективных путей устранения импульсных шумов на изображении является применение медианного фильтра.

Для каждого пикселя в некотором его окружении (окне) ищется медианное значение и присваивается этому пикселю. Определение медианного значения: если массив пикселей отсортировать по их значению, медианой будет серединный элемент этого массива. Размер окна соответственно должен быть нечетным, чтобы этот серединный элемент существовал.

Медиану также можно определить формулой:

где W - множество пикселей, среди которых ищется медиана, а fi - значения яркостей этих пикселей.

Для цветных изображений используется векторный медианный фильтр (VMF):

где Fi - значения пикселей в трехмерном цветовом пространстве, а d - произвольная метрика (например, евклидова).

Однако в чистом виде медианный фильтр размывает мелкие детали, величина которых меньше размера окна для поиска медианы, поэтому на практике практически не используется.

Введение

Медианный фильтр - один из видов цифровых фильтров, широко используемый в цифровой обработке сигналов и изображений для уменьшения уровня шума.

Реализуется с помощью окна, состоящего из нечётного количества отсчётов. Значения отсчётов внутри окна сортируются по порядку; и среднее значение, то есть значение находящееся в середине упорядоченного списка, принимается выходным значением. На следующем шаге окно передвигается на один отсчёт вперёд и вычисления повторяются. Крайние значения массива мыслим продублированными столько раз, чтобы можно было применить окно к первому и к последнему значению.

Медианная фильтрация - обычная процедура обработки изображений. Она особенно часто используется для уменьшения шума в изображении.

Постановка задачи

Дана матрица NxN. Необходимо реализовать параллельный алгоритм медианной фильтрации этой матрицы.

Метод решения

(Примечание: для простоты был реализован фильтр 3x3)

Последовательный алгоритм:

Фильтрация проводится построчно – для первого элемента строки заполняется массив окрестности (с учетом того, что искусственно добавляются три значения-соседи слева), этот массив сортируется быстрой сортировкой, затем среднее значение записывается в выходную матрицу. Для каждого следующего элемента строки массив окрестности не заполняется заново – в него лишь добавляются новые три элемента, замещая старые три. Для того, чтобы это было возможно сделать за один проход (по массиву окрестности и новым трем элементам) введен специальный массив с «количеством жизней» элемента. Жизней может быть 1, 2 и 3. Добавляемые 3 элемента предварительно сортируются и добавление производится слиянием: во время него элементы с 1й жизнью затираются, элементы, имевшие 2 и 3 жизни получают 1 и 2 соответственно, а добавляемые элементы становятся обладателями 3х жизней. Средний элемент записывается в выходной массив. Обработка последнего элемента производится повторением итерации предпоследнего шага. На практике данный метод по сравнению с полной выборкой окрестности и ее сортировкой показывает превосходство по скорости в 3 раза.

Параллельный алгоритм:

(Примечание: размерность матрицы была ограничена значениями кратными двойке)

Т.к. в данной задаче наблюдается независимость по данным, параллелизм производится на основе деления матрицы на части (по несколько строк, а именно N/p, где p –количество процессов). Если учесть что в персональных компьютерах обычно 1, 2, 4 или 8 ядер у процессора, то деление будет производиться без остатка. После деления матрицы на части по высоте – они обрабатываются последовательным алгоритмом, но необходимо учесть, то при этом невозможно обработать граничные строки (за исключением первой и последней в матрице) – после завершения параллельных вычислений, части собираются обратно в одну матрицу, а оставшиеся строки необходимо отфильтровать отдельно.

Анализ эффективности

Время фильтрации 1го элемента строки:

(2*9+9*ln(9)*2+1)*t , где t - время выполнения одной операции.

• (2*9 операций – заполнение массива окрестности и соответствующего массива «жизней»
• 9*ln(9)*2 – быстрая сортировка массивов

Фильтрация последующих элементов строки:

• 9+3 – проход по массиву окрестности с добавлением новых элементов и удалением старых
• 18 – копирование массива окрестности и массива «жизней» из вспомогательных массивов
• 1 – выборка и присваивание медианы выходному элементу

Итого на требующееся на фильтрацию строки время:

((2*9+9*ln(9)*2)+1+(N-1)*(9+3+18+1))*t ≈(21N+37)*t

Время на фильтрацию всей матрицы:

Tp = (α+ω/β*N^2/p)+(21N+37)*t*(N/p+2*(p-1))

• α – латентность
• β - пропускная способность среды передачи
• ω - размер элемента матрицы
• 2*(p-1) – количество строк, оставшихся неотфильтрованными при делении матрицы на части)

T1 = (21N+37)*t*N

Ускорение: Sp = (T1)/(Tp) = ((21N+37)*t*N)/((21N+37)*t*(N/p+2*(p-1))+α+ω/β*N^2/p) = βp/ (β+ω/21) ,при N→∞

Эффективность: Ep = (Sp)/p = β/(β+ω/21) ,при N→∞

Демонстрация

Сравнение теоретических оценок ускорения с практическими:

Характеристики машины: Intеl Core i7 920 @ 2.80GHz 2.00ГБ ОЗУ

латентность: a = 0,00005 cек

пропускная способность: b = 25,6 ГБ/с

время выполнения стандартной операции: t = 0,000000004912 сек

размер элемента набора: w = 4

Работу выполнили студенты группы 8411: Муравьев Владимир и Соловьев Павел