Определить допустимое базисное решение методом искусственного базиса. Решение задач линейного программирования методом искусственного базиса

В случаях, когда сразу не выделяются базисные переменные (а они сразу выделяются только после приведения к каноническому виду задачи, в которой имеются только неравенства типа «≤» при неотрицательных правых частях) можно применять так называемый метод искусственного базиса , который является по сути разновидностью симплекс-метода.

Пусть задача приведена к каноническому виду (1.6), в котором в некоторых уравнениях, скажем в i 1 -м, i 2 -м, …, i s -м, явно не выделяются базисные переменные. Добавим в эти уравнения искусственные переменныеx m +1 , x m +2 , …, x m + s , а в целевую функцию - слагаемые ±Mx m +1 , ±Mx m +2 , …, ±Mx m + s , где M >>1 (M - достаточно большое положительное число) причём «±» - это «+», если решается задача на min, и «±» - это «-», если решается задача на max. Получается новая задача, которая называется дополнительной или вспомогательной .

Например, вспомогательная (дополнительная) задача с искусственными переменными для задачи (1.5) будет иметь вид

c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n +Mx n + m +1 +Mx n + m +2 +…+Mx n +2 m ®min

Аналогично, если задача (2.1) решается на max и придётся вводить искусственные переменные во все ограничения, то получаем следующую вспомогательную задачу:

c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n -Mx n +1 -Mx n +2 -…-Mx n + m ®max

(5.1)

5.1.1. Если ( , , …, , , …, ) оптимальное решение вспомогательной задачи , где , …, - значения искусственных переменных , , , …, - значения переменных в исходной задаче в канонической форме , то =…= =0 и ( , , …, ) - оптимальное решение исходной задачи . При этом значения целевой функции исходной и вспомогательной задач совпадают .

Отсюда получаем, что для решения задачи линейного программирования, методом искусственного базиса достаточно:

1. Привести задачу к каноническому виду.

2. Если в задаче в каноническом виде нет базиса из единичных векторов, то составить вспомогательную задачу (если в задаче в каноническом виде имеется базис из единичных векторов, то задача решается обычным симплекс-методом).

3. Решить вспомогательную задачу, и если ( , , …, , , …, ) - оптимальное решение вспомогательной задачи, где x 1 , x 2 , …, x m - основные и дополнительные переменные (из задачи в каноническом виде), x m +1 , x m +2 , …, x m + s - искусственные переменные то ( , , …, ) - решение задачи в каноническом виде. Оптимальное значение целевой функции вспомогательной задачи равно оптимальному значению исходной задачи.

При этом к вспомогательной задаче применяется обычный симплекс-метод с некоторыми своими особенностями:

1. Так как целевая функция вспомогательной задачи имеет слагаемые с коэффициентами ±M , то оценки D k имеют вид ± M , причём M - достаточно большое число. Поэтому при ≠0 знак D k фактически определяется знаком при . В связи с этим в симплекс-таблице на начальном этапе (пока в базис входят искусственные переменные) вместо одной строки D k записывают две строки и , и при применении критерия оптимальности ориентируются только на строку .

2. Искусственные переменные по мере их выведения из базиса исключаются из дальнейшего рассмотрения.

3. После того, как все искусственные переменные будут выведены из базиса, коэффициенты D k при M будут равны нулю, в таблице остаётся только строка =D k .

Пример. Решить пример из предыдущего параграфа методом искусственного базиса.

Решение. Напоминаем задачу:

3x 1 +x 2 +2x 3 ® max(min)

1. Приведём задачу к каноническому виду:

3x 1 +x 2 +2x 3 ® max(min)

2. В базис в виде единичного вектора входит только вектор при x 4 , то есть переменная во втором уравнении. В первое и третье уравнения системы ограничений вводим искусственные переменные x 6 и x 7:

В целевую функцию они войдут с коэффициентами M или -M в зависимости от того, решается задача на min или на max.

Решим задачу на максимум. Тогда вспомогательная задача - следующая:

3x 1 +x 2 +2x 3 -Mx 6 -Mx 7 ® max

3. Решаем полученную вспомогательную задачу с применением симплекс-таблиц:

Здесь D 2 =-2M -1, D 3 =-3M -2. Коэффициенты при M записаны в строке . Имеем, что D 2 <0 и D 3 <0, то есть для переменных x 2 и x 3 нарушается критерий оптимальности. Поэтому в базис будем вводить x 2 или x 3 . Какую именно из этих переменных, и вместо какой из искусственных (вместо x 6 или вместо x 7), определяем с помощью столбцов q 2 и q 3 . На пересечении столбца q 2 и строк и числа соответственно 2 и 4 означают, что в случае включения в базис x 2 значение функции возрастёт на -q 2 D 2 =4M +2, а в случае включения в базис x 3 значение функции возрастёт на -q 3 D 3 =3M +2<-q 2 D 2 . Поэтому в базис включаем x 2 (что обеспечивает большее возрастание функции и в конечном итоге ускоряет процесс решения задачи). Так как min =2 достигается в строке x 6 , то из базиса исключаем x 6 . Строим новую симплекс-таблицу, в который уже столбец с искусственной переменной x 6 отсутствует (вычеркнут), так как искусственная переменная x 6 из дальнейшего процесса исключается. В новой таблице коэффициент при x 2 в первой строке (которая теперь соответствует новой базисной переменной x 2) равен 1, а во второй равен нулю. Поэтому первые две строки в новую таблицу переписываем из старой. Для того, чтобы в строке x 7 при x 2 получить 0, из строки x 7 в старой таблице вычитаем новую первую. Получаем следующую, очередную, таблицу:

Так как D k <0 только для одного значения k =1, а именно, D 1 =-2M +2<0 (напоминаем, что M - достаточно большое число, так что -2M <2 и D 1 <0), то ищем только отношения q 1 . Минимум этих отношений достигается в строке x 7: min =2. Поэтому искусственная переменная исключается из базиса, а вместо неё в базис включается x 1 .

Искусственные переменные теперь исключены из базиса. Поэтому дальше работаем с обычной симплекс-таблицей, в которой новая третья строка (соответствующая переменной x 1) получается делением старой третьей строки на 2. Затем эту новую третью прибавляем к старой первой и вычитаем из старой второй. В результате в новой таблице в столбце x 1 появятся соответственно 0, 0 и 1:

В полученной таблице D k ³0 для всех k X 0 =(2; 4; 0) является оптимальным решением, при котором значение целевой функции равно -2 (x 4 в окончательном ответе не учитывается, так как она является дополнительной переменной, и не входит в первоначальную задачу).

Решим задачу на минимум (min). Тогда вспомогательная задача - следующая:

3x 1 +x 2 +2x 3 -Mx 6 -Mx 7 ® max

Как и выше, решаем полученную вспомогательную задачу с применением симплекс-таблицы:

Критерий оптимальности нарушается для переменных x 2 и x 3: D 2 =2M -1>0, D 3 =3M -2>0. Так как -q 2 D 2 =-4M +2 по абсолютной величине превосходит -q 3 D 3 =-3M +2, то в базис включаем x 2 . При этом min =2 достигается в строке x 6 , и из базиса исключаем x 6 . Переход к новой таблице аналогичен переходу при решении задачи на max:

Теперь D 1 >0. Поэтому переход к новой таблице аналогичен соответствующему переходу при решении задачи на max: в базис вводится x 1 вместо x 7:

Имеем D 3 =1>0 и D 5 =1>0. Так как |-q 5 D 5 |=|-q 3 D 3 |, то вводим в базис x 5 (вместо x 4): сначала умножаем 2-ю строку на 2, а затем новую вторую строку, умноженную на ½, прибавляем к первой и третьей (фактически вторую старую прибавляем к первой и третьей):

В полученной таблице D k £0 для всех k =1, 2, …, 5, то есть критерий оптимальности выполнен. Поэтому X 0 =(4; 6; 0) является оптимальным решением, при котором значение целевой функции равно -6.

Ответ: F min =-6, минимум достигается в точке X 2 =(4; 6; 0);

F max =-2, максимум достигается в точке X 1 =(2; 4; 0).

5.2. Упражнение. Решить соответствующие задачи линейного программирования из Упражнения 1.3 методом искусственного базиса.

Теория двойственности

До сих пор мы всесторонне рассматривали задачу, решение которой осуществлялось на основе простейшего алгоритма симплексного метода, поскольку все ограничения имели вид меньше либо равно. В этом случае дополнительные переменные задачи образуют единичный базис. Но может получиться так, что система ограничений представлена в канонической форме, но она не приведена к единичному базису.

При решении таких задач был введен метод искусственного базиса . Он особенно удобен, когда число переменных значительно превосходит число уравнений.

Алгоритм решения задачи симплексным методом с искусственным базисом рассмотрим на примере.

Пример 1

Найти максимум Z=4X1+2X2+X3

3Х1+2Х2+Х3=15

Хj³0, j=1,...,3

Переходим к канонической форме:

Х1+Х2+Х3-Х4=8

2Х1+Х2+Х3+Х5=8

3Х1+2Х2+Х3=15

Хj³0, j=1,...,5

Zmax=4X1+2X2+X3+0×X4+0×X5

Данная система ограничений не имеет единичного базиса, так как дополнительная переменная Х4 имеет коэффициент минус единица, а третье ограничение было представлено уравнением и в нем отсутствует базисная переменная. Для того, чтобы был единичный базис вводим в соответствующие ограничения искусственные переменные y1 и y2 с положительными коэффициентами (+1).

Следует отметить, что искусственные переменные вводятся только для математической формализации задачи. Поэтому схема вычислений должна быть такой, чтобы искусственные пременные не могли попасть в окончательное решение в числе базисных переменных. С этой целью для искусственных переменных в целевой функции вводят коэффициент М, обозначающий очень большое число. На практике (особенно при решении задачи на ЭВМ) вместо М берут конкретное большое число, например, 10000. Причем, при решении задачи на максимум этот коэффициент вводится в целевую функцию со знаком минус, а при решении на минимум – со знаком плюс. Теперь будем решать Т (М)-задачу, целевая функция которой содержит целевую функцию Z–задачи и искусственные переменные с коэффициентом ±М, т.е.

T=Z-M S yi, при решении на максимум целевой функции и

T=Z+M S y, при решении на минимум целевой функции

В нашем случае:

Х1+Х2+Х3-Х4+y1=8

2Х1+Х2+Х3+Х5=8

3Х1+2Х2+Х3+y2=15

Хj³0, j=1,...,5

Тmax= 4X1+2X2+X3+0×X4+0×X5 - M(y1+y2)

Эта задача решается в симплексных таблицах, но для удобства целевую функцию разбивают на 2 строки:

В первую строку записываем оценки, которые не содержат коэффициент М;

Во вторую строку- оценки по каждой свободной переменной, содержащие коффициент М.

Расчет элементов (оценок) этих двух строк производится по формуле (2). Только отличие:

При расчете оценок Z -строки должны быть учтены коэффициенты Cj , входящие в функцию Z ;

При расчете оценок М-строки этот коэффициент во внимание не берется, а М -выносится как общий множитель.

Для того, чтобы Т-задача и Z-задача были равны, нужно, чтобы yi были равны нулю. Поэтому пока y i не равно нулю, разрешающий столбец выбирается по оценкам во второй строке, используя алгоритм симплексного метода.

Лишь после того, как все y i станут равны нулю, дальнейший расчет будет вестись по первой индексной строке, т.е. -обычная Z-задача.

Причем, когда искусственная переменная будет выводиться из базиса, ее выбросим из симплексной таблицы, а в следующей симплекс-таблице не будет бывшего разрешающего столбца.

Между оптимальными решениями М-задачи и Z-задачи существует связь, устанавливаемая следующей теоремой:

1. Если в оптимальном решении М-задачи все искусственные переменные (y i) равны нулю, то это решение будет являться оптимальным решением Z-задачи.

2. Если в оптимальном решении М-задачи, хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то Z-задача не имеет решения по причине несовместности системы ограничений.

3. Если М-задача оказалась неразрешимой (Т®+¥ или-¥), то исходная задача также неразрешима либо по причине несовместности системы ограничений, либо по причине неограниченности функции Z.

Составим первую симплексную таблицу. При решении М-методом разрешающий столбец можно выбирать в М-строке не по наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценке (при решении на максимум) и не по наибольшей положительной оценке (при решении на минимум), а по той из них, которая быстрее выводит У из базиса. В данном примере разрешающим столбцом будет столбец свободной переменной X2 с оценкой (-3).

Таблица 3.1.

Первая симплексная таблица

Заполнение Z- строки осуществляется по формуле (2):

а00 = 0 × 8– 0 = 0

а01 =0 × 2– 4 = -4

а02 =0 × 1– 2 = -2

а03 =0 × 1– 1 = -1

а02 =0 × 0– 0 = 0

Заполнение М- строки:

а¢00 = -М × 8 + (–М) × 15 = -23М

а¢01 = -М × 1 + (–М) × 3= -4М

а¢02 = -М × 1 + (–М) × 2= -3М

а¢03 = -М × 1+ (–М) × 1 = -2М

а¢04 = -М ×(-1)+ (–М) × 0 = 1М

М выносим как общий множитель.

В последнем столбце в разрешающей строке стоит 0, поэтому столбец свободной переменной X4 переносим без изменений.

Таблица 3.2.

Вторая симплексная таблица

Во второй таблице получаем вырожденное решение, так как получаются два одинаковых минимальных симплексных отношений. Поэтому находим отношения элементов столбца следующего за разрешающим к элементам разрешающего столбца с учетом знака.

Таблица 3.3.

Третья симплексная таблица

Теперь решаем обычным симплексным методом.

Таблица 3.4.

Четвертая симплексная таблица

В оценочной строке все элементы являются неотрицательными величинами, следовательно получено оптимальное решение:

Zmax=15 Xopt(0,7,1,0,0)

Пример2

Задача решалась на минимум (Z®min) целевой функции. На последней итерации получили следующую таблицу:

Таблица 3.5.

Последняя симплексная таблица

В Т-задаче получено оптимальное решение, так как в М-строке нет больше положительных оценок, т.е. выбор разрешающего столбца невозможен, а У1 находится в базисе. В этом случае исходная задача не имеет решения по причине несовместности системы ограничений.

Необходимым условием применения симплекс-метода является наличие опорного плана, то есть допустимого базисного решения канонической системы уравнений. Для этого должны выполняться следующие условия:

• система должна иметь каноническую (ступенчатую) структуру;
• присутствуют только ограничения-равенства;
• правые части ограничений положительны;
• переменные задачи положительны.

Без этих условий нельзя получить опорный план. Однако в реальных задачах далеко не всегда выполняются перечисленные условия.

Существует специальный метод, называемый искусственным базисом, который позволяет в любой задаче линейного программирования получить начальный опорный план.

Пусть задача линейного программирования приведена к стандартному виду:

Пусть все /? > 0, но часть или все базисные переменные отрицательны, X; 0. Следовательно, опорного плана нет.

Дополним уравнения-ограничения искусственными переменными (предполагаем, что все x j j - 1, п ).

Введем т переменных (по количеству уравнений): х лМ т, которые в новой системе будут базисными, а отрицательные х-

В результате получим следующую эквивалентную задачу.

Здесь переменные x n+i не имеют никакого отношения к исходной задаче линейного программирования. Они служат лишь для получения опорного плана и называются искусственными переменными. А новая

целевая функция /(.т) сформирована для полноты задачи.

В оптимальном опорном плане искусственные переменные должны быть равны нулю. В противном случае нарушится условие первоначальной задачи.

В начальном опорном плане искусственные переменные являются базисными, то есть не равны нулю, а в оптимальном плане искусственные переменные должны быть равны нулю. Значит, искусственные переменные должны стать в оптимальном плане свободными. В этом переводе и состоит основная идея метода: перевод искусственных переменных из базисных переменных в свободные. Рассмотрим механизм такого перевода на примере.

Перепишем ЗЛП в стандартной форме. Для этого введем дополнительные переменные х } , х А, х 5 , х 6 и запишем задачу в канонической форме.

Свободные переменные х, х 2 = 0, при этом базисные переменные примут значения х 3 =-5, х 4 = -5, х 5 = 7, х 6 =9. Так как часть базисных переменных отрицательны, следовательно опорного плана нет. Для получения начального опорного плана введем переменные х 7 , х 8 в двух первых уравнениях-ограничениях и сформулируем вспомогательную задачу:

Таким образом, начальным базисом является

Симплекс-таблица с искусственным базисом

Запишем последовательности опорных планов.

Для первых трех шагов приращения А к вычисляются только по искусственным переменным, которые входят в искусственную целевую функцию /(х) = х 7 + х 8 с коэффициентом с, = 1.

На третьем шаге искусственные переменные исключены, так как все А к положительны.

Итак, симплекс-метод с введением искусственных переменных включает два этапа.

Формирование и решение вспомогательной задачи ЛП с введением искусственных переменных. Искусственные переменные в начальном опорном плане являются базисными. Искусственная целевая функция включает только искусственные переменные. При получении смежных опорных планов искусственные переменные из базисных переводим в свободные. В результате получен оптимальный опорный план для вспомогательной задачи /(х) = 0.

Оптимальный опорный план вспомогательной задачи ЛП является начальным опорным планом основной задачи ЛП. Задача решается для исходной целевой функции /(х) обычным симплекс-методом.

Замечания

• 1. Введение искусственных переменных требуется в двух случаях:
  • ряд базисных переменных х, в канонической форме отрицательны;
  • если трудно свести к канонической форме, то просто в любое уравнение-ограничение добавляем искусственную переменную.
• 2. Встречающиеся в практике автоматического управления задачи линейного программирования содержат от 500 до 1500 ограничений и более 1000 переменных. Ясно, что задачи такой размерности можно решать лишь с помощью ЭВМ и специального программного обеспечения. Сложность алгоритма заключается в том, что:
  • ППП требует канонического вида;
  • ППП для задач такой размерности требует использования больших ЭВМ (и параллельных вычислений), так как симплекс-метод хранит всю таблицу.
• 3. Вычислительную эффективность симплекс-метода можно оценить следующими показателями:
  • число шагов (смежных опорных планов);
  • затраты машинного времени.

Существуют такие теоретические оценки для стандартной задачи линейного программирования с т ограничений и «"переменных:

• среднее число шагов * 2 т и лежит в диапазоне }