Решение матрицы венгерским методом онлайн. Смотреть страницы где упоминается термин метод венгерский

+ +

h =1 

Первый этап .



Второй этап .



В результате решения задачи о назначениях венгерским методом получили, что последовательность
=4,
=4,
=3,
=2,
=2 дает максимальное значение целевой функции=15. Из этого следует, что для отражения атаки СВН противника наиболее эффективным будет следующий вариант назначения ЗОС на ВЦ:

Упражнения .

Найти опорный план транспортной задачи методами «Северо-западного угла», «Наименьшей стоимости», «Фогеля»:

Решить транспортную задачу из задания 1 распределительным методом.

Решить транспортную задачу из задания 1 методом потенциалов.

Венгерским методом решить задачу назначения при поиске максимума:

Венгерским методом решить задачу назначения при поиске минимума:

Контрольные вопросы :

Дайте формулировку транспортной задачи линейного программирования.

Чем отличается сбалансированная транспортная задача от не сбалансированной транспортной задачи?

Сколько в сбалансированной транспортной задаче должно быть базисных переменных?

Дайте определение понятиям: план, допустимый план, опорный допустимый план, оптимальный план, используемым при решении транспортной задачи.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом северо-западного угла.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом наименьшей стоимости.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом Фогеля.

Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана распределительным методом.

Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана методом потенциалов.

Дайте формулировку задачи о назначениях.

Каким образом в задаче о назначениях при разных количествах объектов и средств формируется квадратная матрица назначений?

Сформулируйте алгоритм решения задачи о назначениях Венгерским методом.

Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при максимизации целевой функции?

Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при минимизации целевой функции?

В чем заключается суть первого этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

В чем заключается суть второго этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

В чем заключается суть третьего этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

Сколько первых, вторых и третьих этапов может находиться в одной итерации решения задачи о назначениях Венгерским методом? Какова последовательность выполнения этапов в итерации?

Сколько независимых нулей должно быть в матрице назначений для принятия решения о том, что оптимальное назначение средств на объекты найдено?

Задача о назначениях

Алгоритм решения задачи о назначении на узкие места

Задача о назначении на узкие места

ЛЕКЦИЯ 13. Задачи о назначении. Венгерский алгоритм

Эта задача решается описанным выше алгоритмом. Вот ее постановка.

Имеется n рабочих мест на некотором конвейере и n рабочих, которых нужно на эти рабочие места расставить; известна производительность c ij рабочего i на рабочем месте j . Тот факт, что при некотором распределении на рабочие места рабочий i k попадает на рабочее место j k можно описать следующей таблицей:

Имея способ s назначения на рабочие места, можно найти конкретную для этого способа минимальную производительность и заметить, что именно эта минимальная производительность и определяет скорость и производительность конвейера. То рабочее место, на котором реализуется минимальная производительность и называют узким местом в назначении.

Задача состоит в том, чтобы максимизировать

Шаг 0. Фиксируем матрицу производительностей и любое назначение на рабочие места. Пусть s - минимальная производительность при этом назначении. Построим рабочую таблицу тех же размеров, что и матрица C ; в клетку с номером (ij ) в этой таблице проставим символ «´», если ; в противном случае эту клетку оставим пустой.

Шаг 1. Рассматривая рабочую таблицу, построенную на предыдущем шагу, как рабочую таблицу в алгоритме для выбора наибольшего паросочетания в двудольном графе, найдем соответствующее наибольшее паросочетание. Если в нем окажется n ребер, то по ним восстанавливается новое назначение на рабочие места и с новой, более высокой, минимальной производительностью. Обозначим ее снова через s и вернемся к Шагу 0. Если же число ребер окажется меньше n , то имеющееся назначение на рабочие места уже оптимально.

Постановки задачи:

Пример 13.1 . Требуется распределить m работ (или исполнителей) по n станкам. Работа i (i =1,...,m ), выполняемая на станке j (j=1,...,n ), связана с затратами. Задача состоит в таком распределении работ по станкам (одна работа выполняется на одном станке), которое соответствует минимизации суммарных затрат c ij .

Пример 13.2. C= (c ij ) – стоимость производства детали i на станке j нужно найти распределение станков так чтобы суммарная стоимость производства была минимальной.

Пример 13.3. Транспортная задача. Заданы пункты производства товара, пункты потребления товара. Требуется определить оптимальное взаимно-однозначное соответствие между пунктами производства и пунктами потребления, исходя из матрицы стоимостей перевозок C между соответствующими пунктами (т.е. минимизировать суммарную стоимость перевозки).

Здесь работы представляют «исходные пункты», а станки – «пункты назначения». Предложение в каждом исходном пункте равно 1. Аналогично спрос в каждом пункте назначения равен 1. Стоимость «перевозки» (прикрепления) работы i к станку j равна c ij . Если какую-либо работу нельзя выполнять на некотором станке, то соответствующая стоимость берется равной очень большому числу.

Прежде чем решать такую задачу необходимо ликвидировать дисбаланс, добавив фиктивные работы или станки в зависимости от начальных условий. Поэтому без потери общности можно положить m = n .

Пусть = 0, если j -я работа не выполняется на i -м станке, = 1, если j -я работа выполняется на i -м станке. Таким образом, решение задачи может быть записано в виде двумерного массива . Допустимое решение называется назначением . Допустимое решение строится путем выбора ровно одного элемента в каждой строке матрицы и ровно одного элемента в каждом столбце этой матрицы.

Замечание 1. Для заданного значения n существует n ! допустимых решений.

Математическая модель задачи:

Минимизировать функцию , при ограничениях:

, (12.1)

, (12.2)

Ограничения (12.1) необходимы для того, чтобы каждая работа выполнялась ровно один раз. Ограничения (12.2) гарантируют, что каждому станку будет приписана ровно одна работа.

Пример 13.4. Для иллюстрации задачи о назначениях рассмотрим таблицу с тремя работами и тремя станками. Стоимость производства детали i на станке j :

Нужно найти распределение станков так чтобы суммарная стоимость производства была минимальной.

Специфическая структура задачи о назначениях позволяет использовать эффективный метод для ее решения.

Замечание 2 . Оптимальное решение задачи не изменится, если из любой строки или столбца матрицы стоимостей вычесть произвольную постоянную величину.

Приведенное замечание 2 показывает, что если можно построить новую матрицу с нулевыми элементами и эти нулевые элементы или их подмножество соответствуют допустимому решению, то такое решение будет оптимальным.

.

Оптимальное назначение: , , , остальные , .

К сожалению, не всегда удается определить решение так просто. Для таких случаев рассмотрим следующий алгоритм.

Шаг 1. (Редукция строк и столбцов). Цель данного шага состоит в получении максимально возможного числа нулевых элементов в матрице стоимостей. Для этого из всех элементов каждой строки вычитают минимальный элемент соответствующей строки, а затем из всех элементов каждого столбца полученной матрицы вычитают минимальный элемент соответствующего столбца. В результате получают редуцированную матрицу стоимостей и переходят к поиску назначений.

Шаг 2. (Определение назначений). На этом шаге можно использовать алгоритм поиска «наибольшего паросочетания с матрицей двудольного графа (существуют и другие возможности), если все =0 матрицы заменить на «1», а >0 на «0».

Если нельзя найти полного назначения, то необходима дальнейшая модификация матрицы стоимостей, т.е. перейти к шагу 3.

Шаг 3 . (Модификация редуцированной матрицы). Для редуцированной матрицы стоимостей:

а) Вычислить число нулей в каждой невычеркнутой строке и каждом невычеркнутом столбце.

б) Вычеркнуть строку или столбец с максимальным числом нулей.

в) Выполнять пункты а) и б) до тех пор, пока не будут вычеркнуты все нули.

г) Из всех невычеркнутых элементов вычесть минимальный невычеркнутый элемент и прибавить его к каждому элементу, расположенному на пересечении двух линий.

Перейти к шагу 2.

Замечание 3 .Если исходная задача является задачей максимизации, то все элементы матрицы стоимостей следует умножить на (-1) и сложить их с достаточно большим числом так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов. Затем задачу следует решать как задачу минимизации.

Пример 13.5. Покажем работу венгерского алгоритма на примере задачи о назначениях со следующей матрицей стоимостей:

.

Итерация 1

Шаг 1 . Редукция строк и столбцов.

Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вычитая из элементов каждой строки соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу:

.

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5 и 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу.

Рассмотрим следующий пример. Пусть для выполнения пяти различных работ имеется пять человек. Из отчетных данных известно, какое время требуется каждому из них для выполнения каждой работы. Эти данные приведены в таблице.

В данном случае величины представляют собой затраты времени каждого работника на выполнение каждой из работ, а величины равны либо 1, либо 0, причем равен 1, если работник i назначен на работу j, и 0 во всех остальных случаях. Таким образом задача сводится к минимизации функции. стоимость маршрут линейный программирование

при следующих ограничениях.

Ясно, что если отбросить последнее условие и заменить его условием

То получается транспортная задача, в которой все потребности и все ресурсы равны единице. В оптимальном решении все равны либо целому числу, либо нулю, причем единственным возможным целым является единица. Таким образом, решение транспортной задачи при этих условиях всегда приводит к равенству.

Однако вследствие вырожденности методы решения транспортных задач в случае задачи о назначении оказываются малоэффективными. При любом назначении всегда автоматически совпадают поставки по строке со спросом по столбцу и поэтому вместо 2n-1 получаем n ненулывых значений. В связи с этим необходимо заполнить матрицу n-1 величинами е, и может оказаться, что ненулевые значения определяют оптимальное решение, однако проверка его не обнаруживает, так как величины е расставлены неверно.

Метод решения задачи о назначении основан на двух довольно очевидных теоремах. Первая из них утверждает, что решение не изменится, если прибавить к любому столбцу или строке матрицы некоторую константу или вычесть ее из них. Эта теорема точно формулируется следующим образом:

Теорема 1.

Если минимизирует

по всем, таким что и

то минимизирует также функционал

где при всех

Теорема 2.

Если все и можно отыскать набор такой, что

то это решение оптимально.

Вторая теорема очевидна. Для доказательства первой теоремы заметим, что

Вследствие того что величины, вычитаемые из Z с целью получения, не зависят от, достигает минимума всегда, когда минимизируется Z, и наоборот.

Разработанный метод решения сводится к прибавлению констант к строкам и столбцам и вычитанию их из строк и столбцов до тех пор, пока достаточное число величин не обращается в нуль, что дает решение, равное нулю.

Отыскание решения начинают, вычитая наименьший элемент из каждой строки, а затем из каждого столбца. В таблице даны результаты для приведенного выше примера.

Таблица А)

Таблица Б)

Из столбцов и строк было вычтено всего 10 единиц. Поэтому для правильной оценки любого решения, получаемого при использовании таблицы (Б), необходимо прибавить к результату 10 единиц

Прежде всего стремятся отыскать решение, включающее лишь те клетки таблицы (Б),в которых стоят нулевые элементы, поскольку такое решение, если его удается найти, будет наилучшим из всех возможных. Однако встречаются случаи, когда несколько решений имеют одинаковое качество. Допустимое решение помечено в таблице (Б) скобками. Однако, для того чтобы определить, возможно ли улучшение решения, применяется следующий алгоритм.

Заметим предварительно, что любое дальнейшее вычитание из строки или столбца, хотя и может приводить к появлению новых нулей, неизбежно приводит в появлению отрицательных элементов, так что нулевое решение теперь не обязательно будет оптимальным. Однако отрицательные элементы можно исключить, прибавляя соответствующие числа к строкам или столбцам. Так например, если вычесть 2 из столбца 1 в таблице (Б), то в строке 1 появится элемент - 2. Если теперь прибавить 2 к строке 1, то вновь получим матрицу с неотрицательными элементами. Задача заключается в том, чтобы получать новые нули указанным способом, но вместе с тем в конечном счете получить матрицу, содержащую решение среди одних нулей. Можно доказать, что описываемый ниже алгоритм обеспечивает решение этой задачи.

1. Провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули. Выполнение этого шага для таблицы (Б) дает результат в таблице 1.

Таблица 1

Заметим, что в данном случае используется только четыре линии, а следовательно, нулевые клетки не содержат оптимального решения.

• 2. Выбрать наименьший элемент, через который не проведена линия. В примере это 1 в клетке (5,2).
• 3. Вычесть это число из всех элементов, через которые не проведена ни одна линия, и прибавить его ко всем элементам, через которые проведены две линии. В данном примере получается результат, показанный в таблице 2.

Таблица 2

Этот шаг должен приводить к появлению нуля в клетке, где его ранее не было. В рассматриваемом примере это клетка (5,2).

4. Определить, имеется ли решение среди нового набора нулей. Если решение не обнаруживается (в данном примере оно отсутствует), то вернуться к шагу 1 и выполнить все последующие шаги, пока не будет найдено решение. продолжая рассматривать данный пример, получаем результат, приведенный в таблице 3.

Таблица 3

В этой таблице уже содержится решение, помеченное скобками и имеющее значение 13, что на 1 лучше исходного допустимого решения. , .

Пример 2.

Представлено четыре студента и четыре вида работ. Следующая таблица соответствует матрице стоимостей для этой задачи.

Выполним первый шаг алгоритма.

Теперь вычтем минимальные стоимости из элементов соответствующих строк.

На втором шаге алгоритма находим минимальные значения по столбцам и вычитаем их из элементов соответствующих столбцов. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

В последней матрице расположение нулевых элементов не позволяет назначить каждому ребенку одну работу. Например, если мы назначим Даше уборку гаража, из дальнейшего рассмотрения исключается первый столбец и тогда, в строке Аллы не окажется нулевых элементов.

• 1) В последней матрице проведем минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых по строкам и столбцам с тем, чтобы вычеркнуть все нулевые элементы.
• 2) Найдем наименьший невычеркнутый элемент и вычтем его из остальных невычеркнутых элементов и прибавим к элементам, стоящим на пересечении проведенных прямых.

В задаче данного примера требуется провести три прямых, это приводит к следующей таблице:

Наименьший невычеркнутый элемент равен 1. Этот элемент вычитаем из остальных невычеркнутых элементов и прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

Оптимальное решение, показанное в таблице, предлагает Даше убрать гараж, Кате стричь газоны, Алле мыть машины, а Саше выгуливать собак. Соответствующее значение целевой функции равно 1+10+5+5=21. Такое же значение можно получить путем суммирования значений и и значения элемента, наименьшего среди всех невычеркнутых.

Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем. Строится начальный план перевозок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи (из некоторых пунктов производства не весь продукт вывозится, потребность части пунктов потребления не полностью удовлетворена). Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи.

Алгоритм венгерского метода состоит из подготовительного этапа и из конечного числа итераций. На подготовительном этапе строится матрица X0 (xij)m,n, элементы которой неотрицательны и удовлетворяют неравенствам:

Если эти условия являются равенствами, то матрица Хo - решение транспортной задачи. Если среди условий имеются неравенства, то осуществляется переход к первой итерации. На k-й итерации строится матрица Хk (xij)m,n. Близость этой матрицы к решению задачи характеризует число Dk - суммарная невязка матрицы Хk:

В результате первой итерации строится матрица Хl, состоящая из неотрицательных элементов. При этом Dl D0. Если Dl 0, то Хl - оптимальное решение задачи. Если Dl 0, то переходят к следующей итерации. Они проводятся до тех пор, пока Dk при некотором k не станет равным нулю. Соответствующая матрица Хk является решением транспортной задачи.

Венгерский метод наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления. В этом случае число итераций не превышает величины D0/2 (D0 - суммарная невязка подготовительного этапа).

Достоинством венгерского метода является возможность оценивать близость результата каждой из итераций к оптимальному плану перевозок. Это позволяет контролировать процесс вычислений и прекратить его при достижении определенных точностных показателей. Данное свойство существенно для задач большой размерности.

Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: Учеб. для вузов. 2-е узд. / Под ред.. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Узд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 436 с.

Зайченко Ю.П. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Киев: Вища школа. Главное изд-во, 1979. 392 с.

И. А. Акулич. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 1986.- 319 с.

Сакович В.А. Исследование операций (детерминированные методы и модели): Справочное пособие. - Мн.: Выш. шк., 1984.-256с.

Таха Х. Введение в исследование операций: в двух книгах. Кн.1,2 Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.

Хазанова Л.Э. Математическое программирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Издательство БЕК, 1998. – 141с.

При обсуждении постановки задачи о назначениях было отмечено, что эта задача является частным случаем классической транспортной задачи и, как следствие, является задачей транспортного типа. Применительно к задаче о назначениях симплексный метод не эффективен, так как любое ее допустимое базисное решение является вырожденным. Специфические особенности задачи о назначениях позволили разработать эффективный метод ее решения, известный как венгерский метод.

Частным случаем транспортной задачи является задача о назначениях, в которой число пунктов производства равно числу пунктов назначения, т.е. транспортная таблица имеет форму квадрата. Кроме того, в каждом пункте назначения объем потребности равен 1, и величина предложения каждого пункта производства равна 1. Любая задача о назначениях 2может быть решена с использованием методов линейного программирования или алгоритма решения транспортной задачи. Однако ввиду особой структуры данной задачи был разработан специальный алгоритм, получивший название Венгерского метода.

Венгерский метод является одним из интереснейших и наиболее распространенных методов решения транспортных задач.

Рассмотрим основные идеи венгерского метода на примере решения задачи выбора (задачи о назначениях), которая является частным случаем Т-задачи, а затем обобщим этот метод для произвольной Т-задачи.

Постановка задачи. Предположим, что имеется различных работ и механизмов, каждый из которых может выполнять любую работу, но с неодинаковой эффективностью. Производительность механизма при выполнении работы обозначим, и = 1,...,n; j = 1,...,n. Требуется так распределить механизмы по работам, чтобы суммарный эффект от их использования был максимален. Такая задача называется задачей выбора или задачей о назначениях.

Формально она записывается так. Необходимо выбрать такую последовательность элементов из матрицы

чтобы сумма была максимальна и при этом из каждой строки и столбца С был выбран только один элемент.

Введем следующие понятия.

Нулевые элементы матрицы С называются независимыми нулями, если для любого строка и столбец, на пересечении которых расположен элемент, не содержат другие такие элементы.

Две прямоугольные матрицы С и D называются эквивалентными (C ~ D), если для всех i,j . Задачи о назначениях, определяемые эквивалентными матрицами, являются эквивалентными (т.е. оптимальные решения одной из них будут оптимальными и для второй, и наоборот).