Χρήση φίλτρων Kalman. Φίλτρο Kalman - Οδηγός Πρακτικής Εφαρμογής (με κωδικό!)

Ας υπάρχει ένα συγκεκριμένο σύστημα, η κατάσταση του οποίου χαρακτηρίζεται μοναδικά από ένα συγκεκριμένο σύνολο μεγεθών, τα οποία, κατά κανόνα, είναι απρόσιτα για μέτρηση (aector κατάστασης συστήματος).

Υπάρχει ένας αριθμός μεταβλητών. Κατά κάποιο τρόπο σχετίζεται με την κατάσταση του συστήματος, η οποία μπορεί να μετρηθεί με δεδομένη ακρίβεια. Ο αλγόριθμος φίλτρου Kalman σάς επιτρέπει να δημιουργήσετε μια πραγματική εκτίμηση της κατάστασης του συστήματος σε πραγματικό χρόνο, με βάση μετρήσεις που περιέχουν σφάλματα. Το διάνυσμα μέτρησης θεωρείται ως πολυδιάστατο σήμα εξόδου του συστήματος, το οποίο είναι θορυβώδες, το διάνυσμα κατάστασης είναι ένα άγνωστο πολυδιάστατο σήμα που πρέπει να προσδιοριστεί. λάθη.

Χαρακτηριστικά του φίλτρου Kalman:

Σας επιτρέπει να βρείτε μια λύση στο πρόβλημα που διατυπώθηκε με τη μορφή

Το φίλτρο δεν είναι ακίνητο

Έχει επαναλαμβανόμενη μορφή, βολεύει δηλαδή για προγραμματισμό. Οι νέες εκτιμήσεις λαμβάνονται με την προσαρμογή των παλαιών με βάση νέες παρατηρήσεις.

ΣΕ γενική περίπτωσηδίνεται ο ν-διάστατος χώρος Hilbert.

Καθορίζεται μια διαδικασία που σχηματίζεται από ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα που ονομάζεται φίλτρο διαμόρφωσης

Dx/dt =A(t) x(t) +B(t)u(t)+V(t)

X(t) -τυχαία n-διάστατη διαδικασία.

- U(t) - γσωρός διαδικασία με τη μορφή b.sh

Κ u (τ, Μ  (t) (t- )

X(t)παρατηρείται με χρήση μετρητή:

Y(t) = c(t)x(t) +n(t)

n(t) =B.Sh.

Κ n (τ,  ) = M=R(t) (t- )

Με βάση παρατηρήσεις στοκατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος, πρέπει να βρείτε μια εκτίμηση του σήματος x(t) tx(t))

x (t)=x(t) – x(t)- σφάλμα εκτίμησης

Το κριτήριο βελτιστοποίησης είναι το τετρ. Μορφή

//Χ (t) // 2  ελάχ

Διαδικασίες u(t)Και x(t)Και V(t)Και n(t)δεν συσχετίζονται και το φίλτρο διαμόρφωσης ικανοποιεί τις συνθήκες φυσικής πραγματοποίησης.

U(t) x(t) x(t) n(t)

FF – φίλτρο διαμόρφωσης

u

μεγάλο

x(t) x(t)

Οι δυναμικές ιδιότητες του συστήματος εξαρτώνται από ΜΕΓΑΛΟ,επιλογή μεγάλοπαρέχει

X(t) – x(t) ο

t

Οι αρχικές συνθήκες σε κάθε νέο κύκλο του αλγορίθμου είναι μια εκτίμηση της κατάστασης του συστήματος και η τιμή χαρακτηρίζει το σφάλμα του.

Ο αλγόριθμος επεξεργάζεται διαδοχικά διανύσματα μέτρησης που έρχονται πρόσφατα, λαμβάνοντας υπόψη αυτή την τιμή, υπολογ. στον προηγούμενο κύκλο. Στο sp. Βήμα, με επεξεργασία μέτρησης, καθορισμένο αρ. για αυτόν τον αλγόριθμο υπολογ. χωρίς διορθώσεις σε αυτά με βάση συνμεταβλητούς πίνακες. Διορθώθηκε τ.ο. Λοιπόν. και είναι η έξοδος του φίλτρου Kalman σε κάθε κύκλο. Στο τελικό στάδιο του αλγορίθμου, λαμβάνει χώρα προετοιμασία για την άφιξη ενός νέου διανύσματος μέτρησης. Με βάση έναν δεδομένο γραμμικό μετασχηματισμό, συνδέοντας το διάνυσμα της επόμενης κατάστασης του με το προηγούμενο, προβλέπεται μια εκτίμηση της κατάστασης του συστήματος τη στιγμή της επόμενης μέτρησης.

Ας εξετάσουμε ένα πολυδιάστατο φίλτρο Kalman για τη στατική θήκη. Η περιγραφή του ίδιου του αντικειμένου πρέπει να είναι γνωστή:

X(K+1) = Ax(K)+Bu(K)+V(k)

Y(K) = cx(K0+n(K)

ΕΝΑ 1 σι 1 C=const(εσωτερική περίπτωση)

Πρέπει να είναι γνωστές εκ των προτέρων πληροφορίες σχετικά με το σήμα:

M[x] =x ο u cov [x] = ο

Πρέπει να είναι γνωστές εκ των προτέρων πληροφορίες σχετικά με τον θόρυβο, δηλαδή R(v) -Γκαουσιανή πυκνότητα  Μ[ν]=ο; cov[V]=V

P(n) M[n]=o; cov[n]=N

V - θόρυβος αντικειμένου. n - θόρυβος μέτρησης

Αλγόριθμος φίλτρου Kalman:

X(K+1) = Ax(k)+Bu(k)+L(K+1)

Κάθε εκτίμηση προκύπτει από την προηγούμενη x(K)και με βάση την τρέχουσα μέτρηση y(u+1); προβλέπει το τρέχον δείγμα – Ax(u)+Bu(K)- προεκτεινόμενη κατάσταση.

L Cbu(K)προσαρμόζει την τρέχουσα εκτίμηση με βάση την εκτίμηση σφάλματος

ΝΤΟ-καινοτομία μεταξύ της παρατηρούμενης και της προβλεπόμενης τιμής.

L(K+1) -χρονικά μεταβαλλόμενος συντελεστής Kalman.

L= KoC 1 σελ -1 p-μήτρα του ίδιου του σήματος. Κο-η μόνη θετική οριστική λύση της αλγεβρικής εξίσωση μήτρας(Εξίσωση Reccati)

Αυτό το αναγνωριστικό πρέπει να είναι σταθερό, δηλαδή ιδιοτιμήμήτρες έχει ένα πραγματικό μέρος "-".

Η εξίσωση φίλτρου Kalman καθορίζει μοναδικά όλους τους συντελεστές αναγνώρισης με βάση δεδομένα σχετικά με τη φύση της παρεμβολής σύμφωνα με την επιλογή του κριτηρίου ελάχ. CKλάθη.

Ας γράψουμε την επαναλαμβανόμενη φόρμα:

L(K+1) = (Κ+1) γ 1 -1 = Ρ(Κ+1)C 1 Ν -1

 (Κ+1) = ΑΡ(Κ)Α 1 +V

P(K+1)= [ -1 (K+1)>C 1 Ν -1 ΝΤΟ] -1 =  (K+1)-  (K+1)C 1 -1 ντο (k+1)

 (K+1)- a priori τιμή του πίνακα συνδιακύμανσης σήματος x, με βάση k παρατηρήσεις.

Αρχικά υπολογίζεται:

1.  (k+1)

2.P(k+1)

3. L(k+1)

4.x(k+1)

Παράδειγμα: απλοποιήθηκε επειδή: a priori περίπτωση (φίλτρο Kalman κάμερας). Και c=1

Εξέταση στατικών τυχαίων σημάτων x(k)με γνωστούς στατιστικούς χαρακτήρες παραμορφώνεται το στατιστικό β.σ. μέγ/ καλύτερη εκτίμηση x(i)

X(k+1) = ax(k) +v(k)

Y(k) = x(k)+n(k)

Χ(ο)=χ ο Ρ(ο)=Ρ ο

M[v]=o M=V ij

M[k]=o M=N ij

Μ=Ο

x^(n+1)=ax(k)+L(k+1)

l(k+1)= (k+1)[ (k+1)+N] -1 =  (k+1)/ (k+1)+N

 (k+1)=AP(k)A 1 +V=a 2 Ρ(κ)+ν

P(k+1)=[ -1 (k+1)+N -1 ] -1 =  (k+1)N/ (k+1)+N

X(k+1)=(1-l(k+1))ax(k)+l(k+1)y(k+1)=N/  (k+1)+N ax(k)+ (k+1)/ (k+1)+N y(k+1)

μεγάλο 

L(k+1)+  (k+1)=1

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν εκ των προτέρων πληροφορίες:

Χ ο =oP ο =o N=V =

1 N 0,5 0,5 N

2 1 ,25 Ν 0,555 0,555 Ν

3 1 ,28 Ν 0,56 0,56Ν

4 1 ,28 Ν 0,56 0,56Ν

x ο =oP ο =  N=V a=

κ (k) l(k) P(k)

ο

1  1 Ν

2 1 ,5 Ν 0,6 0,6 Ν

3 1,3Ν 0,565 0,565 Ν

4 1 ,283 Ν 0,56 0,565 Ν

5 1 ,28 Ν 0,56 0,56 Ν

0 ,56 Ν

P(k) =P(k-1)=P -κατάσταση σταθερότητας φίλτρου

R=  N/ +N =(α 2 P+V)N/ a 2 P+N+V

(ένα 2 P +V)N =PN+P(a 2 P+V)

Π 2 +N+V-a 2 N/a 2  P – VN/a 2 =Ο

Π 2 +3Np – 2N 2 =Ο

P=0,56 Ν

Κέρδος μεγάλο δεν εξαρτάται από παρατηρήσεις και μπορεί να υπολογιστεί εκ των προτέρων για ολόκληρη τη διαδικασία.

Χρονική εξάρτηση πινάκων ΕΝΑ, σι, ΜΕδεν εισάγει θεμελιώδεις αλλαγές (όταν αυτοί οι πίνακες είναι πλήρως γνωστοί)

Το φίλτρο Kalman υλοποιεί τη διαδικασία παραλυτικής εκτίμησης.

Με μια μερική κατανομή τυχαίων μεταβλητών στη σταθερή περίπτωση, το φίλτρο που εξετάζεται είναι βέλτιστο, με την έννοια της μεθόδου πολυμ. Τετράγωνα, εάν το σύστημα δεν είναι ακίνητο, τότε το φίλτρο είναι βέλτιστο.

Ταυτόχρονη εκτίμηση παραμέτρων και κατάστασης αντικειμένου

Λαμβάνοντας υπόψη το πρόβλημα της αξιολόγησης καταστάσεων, όταν είναι γνωστή μόνο η δομή του πίνακα αντικειμένου, δηλαδή οι συναρτήσεις που περιέχουν τους πίνακες είναι γνωστές και οι τιμές των παραμέτρων που περιέχουν τις ίδιες τις συναρτήσεις δεν είναι γνωστές. Μια άμεση προσέγγιση για την επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος περιλαμβάνει την επέκταση του διανύσματος κατάστασης λόγω άγνωστων παραμέτρων.

U(t) x 1 (t)

Υ 1 (t)

Υ 2 (t)

Είναι απαραίτητο να αξιολογηθεί η κατάσταση Χκαι μέση τιμή θορύβου nαπό τις διαθέσιμες παρατηρήσεις σημάτων στο 1 Και στο 2 συγχρόνως ΕΝΑάγνωστος

Ας δημιουργήσουμε ένα διάνυσμα εκτεταμένης κατάστασης που θα ορίσουμε:

Χ 1 (t)x 1 (t)

X(t)= a = x 2 (t)

Nx 3 (t)

A=n=o(αφού δεν είναι φίλτρα χρόνου)

Χ 1 (t)/u(t) = 1/a+s x 1 ο (t) = -x 1 (t)x 2 (t)+u(t)

Χ 1 (t) = u(t)/a+s

Χ 1 (t)(a+s)= u(t) x 1  x 2 +sx 1 =u

Για το διάνυσμα κατάστασης, γράψτε την εξίσωση σύζευξης x(t)Και u(t)αδύνατος.

X = A(x(t)+B(x(t),t) u(t)

-χ 1 +x 2 (t) 1

Α = ο Β = ο

Εξετάστε το διάνυσμα των παρατηρήσεων

Y(t) =c(x(t), t) + v(t)

C(x(t), t) =

V(t) =

Αφήστε το αντικείμενο να περιγραφεί

X = j(x,u, ένα, v, t)

Y = g(x,u,Με,n, t)

Χ (χ, u,ένα, v, t)

[x/a] δεν μπορεί να μετατραπεί σε Μ- γραμμική μορφή, όπου Μδεν εξαρτάται από ΧΚαι ΕΝΑ.

Ακόμη και για ένα γραμμικό αντικείμενο το πρόβλημα είναι κοινό.

Εκτίμηση παραμέτρων και καταστάσεων σε σχέση με αυτήν την παράμετρο και το διάνυσμα κατάστασης. Όλες οι προσεγγίσεις πρέπει να βασίζονται στη ρύθμιση του μοντέλου και να είναι επαναλαμβανόμενες.

Ας εξετάσουμε με βάση δείγματα σημάτων:

X(k+1) = t(x(k), u(k), a(k), v(k), k)

Y9k) = g(x(k), n(k),Με(κ), n(k), ια)

Χρησιμοποιείται ένα μη γραμμικό μη ακίνητο αντικείμενο

(x(k), u(k), a(k), k) + G(k)V(k)g(x(k)u(k)c(k)k)+n(k)

(προσθετικό θορύβου αντικειμένου) (πρόσθετο θορύβου παρατήρησης)

A(k)x(k) +B(k)u(k) c(k)x(k)+D(k)u(k)

(γραμμικό αντικείμενο) παρατηρήσιμο γραμμικά σχετικών μεταβλητών κατάστασης

Ax(k)+Bu(k) cx(k) + Du(k)

(στάσιμο αντικείμενο) ο πίνακας παρατήρησης είναι σταθερός)

(κ)=ο

Σε αυτή τη μορφή, το πρόβλημα ονομάζεται δύο σημείων.

Αναγνώριση μη γραμμικών αντικειμένων

Τύπος μη γραμμικότητας Hammerstein.

Αυτό το μοντέλο βασίζεται στην υπόθεση ότι η μη γραμμικότητα και η δυναμική μπορούν να διαχωριστούν. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή διαδοχικών συνδυασμών 2 συνδέσμων: μη γραμμική αδρανειακή και δυναμική γραμμική.

U(t)y(t)

Υ(t) = ρε

Σε ένα μονοδιάστατο σήμα πρέπει να προσδιορίζονται 2 λειτουργίες. Αυτές οι συναρτήσεις αντιπροσωπεύονται με τη μορφή επέκτασης σε ορισμένες λειτουργίες που καθορίζονται από το σύστημα.

(υ)= aj ι (u); w(t) = σι εγώ w εγώ (t)

j=1 i=1

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

Υ ij (t) = εγώ ( ) ι }