ru ΕύρημαΕπίλυση προβλημάτων

Ένα εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης στο MS Excel είναι το πρόσθετο «Αναζήτηση λύσεων». . Η διαδικασία αναζήτησης λύσης μας επιτρέπει να βρούμε βέλτιστη τιμήτύπος που περιέχεται σε ένα κελί που ονομάζεται κελί στόχος. Αυτή η διαδικασία λειτουργεί σε μια ομάδα κυττάρων που σχετίζονται άμεσα ή έμμεσα με έναν τύπο στο κελί-στόχο. Για να λάβετε ένα καθορισμένο αποτέλεσμα από τον τύπο που περιέχεται στο κελί-στόχο, η διαδικασία αλλάζει τις τιμές στα κελιά που επηρεάζουν.

Εάν εγκατασταθεί αυτό το πρόσθετο, τότε εκκινείται η "Αναζήτηση λύσης" από το μενού "Εργαλεία". Εάν δεν υπάρχει τέτοιο στοιχείο, θα πρέπει να εκτελέσετε την εντολή "Εργαλεία - Πρόσθετα..." και να επιλέξετε το πλαίσιο δίπλα στο πρόσθετο "Αναζήτηση λύσης".

Η λύση στο πρόβλημα βελτιστοποίησης αποτελείται από τρία στάδια.

Α. Δημιουργία μοντέλου του προβλήματος βελτιστοποίησης.

Β. Εύρεση λύσης στο πρόβλημα βελτιστοποίησης.

Γ. Ανάλυση της λύσης που βρέθηκε στο πρόβλημα βελτιστοποίησης.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτά τα στάδια.

Στάδιο Α.

Στο στάδιο της δημιουργίας του μοντέλου, εισάγονται οι ονομασίες των αγνώστων, οι περιοχές στο φύλλο εργασίας συμπληρώνονται με τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος και εισάγεται ο τύπος για τη συνάρτηση αντικειμένου.

Στάδιο Β.

Η εντολή «Υπηρεσία - Αναζήτηση λύσης» ανοίγει το πλαίσιο διαλόγου «Αναζήτηση λύσης», το οποίο, με τη σειρά του, περιέχει τα ακόλουθα πεδία:

"Ορισμός κελιού στόχου" - χρησιμεύει για τον καθορισμό του κελιού-στόχου του οποίου η τιμή πρέπει να μεγιστοποιηθεί, να ελαχιστοποιηθεί ή να οριστεί σε έναν καθορισμένο αριθμό. Αυτό το κελί πρέπει να περιέχει έναν τύπο.

"Equal" - χρησιμεύει για την επιλογή μιας επιλογής για τη βελτιστοποίηση της τιμής του κελιού στόχου (μεγιστοποίηση, ελαχιστοποίηση ή επιλογή δεδομένου αριθμού). Για να ορίσετε έναν αριθμό, πληκτρολογήστε τον στο πεδίο.

"Αλλαγή κελιών" - χρησιμεύει για να υποδεικνύει κελιά των οποίων οι τιμές αλλάζουν κατά την αναζήτηση λύσης μέχρι να εκπληρωθούν οι επιβαλλόμενοι περιορισμοί και η προϋπόθεση για τη βελτιστοποίηση της τιμής του κελιού που καθορίζεται στο πεδίο "Ορισμός κελιού στόχου".

"Υποθέτω" - χρησιμοποιείται για αυτόματη αναζήτησηκελιά που επηρεάζουν τον τύπο που αναφέρεται στο πλαίσιο Ορισμός κελιού στόχου. Το αποτέλεσμα αναζήτησης εμφανίζεται στο πεδίο "Αλλαγή κελιών".

"Περιορισμοί" - χρησιμεύει για την εμφάνιση μιας λίστας οριακών συνθηκών της εργασίας.

"Προσθήκη" - χρησιμεύει για την εμφάνιση του πλαισίου διαλόγου "Προσθήκη περιορισμού".

"Επεξεργασία" - χρησιμεύει για την εμφάνιση του πλαισίου διαλόγου "Επεξεργασία περιορισμού".

"Διαγραφή" - χρησιμεύει για την αφαίρεση του καθορισμένου περιορισμού.

"Εκτέλεση" - χρησιμεύει για να ξεκινήσει η αναζήτηση μιας λύσης στην εργασία.

"Κλείσιμο" - χρησιμεύει για έξοδο από το παράθυρο διαλόγου χωρίς να ξεκινήσει η αναζήτηση για μια λύση στην εργασία. Ταυτόχρονα, αποθηκεύονται οι ρυθμίσεις που γίνονται στα παράθυρα διαλόγου που εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ στα κουμπιά «Επιλογές, Προσθήκη, Αλλαγή ή Διαγραφή».

"Παράμετροι" - χρησιμεύει για την εμφάνιση του πλαισίου διαλόγου "Επιλογές αναζήτησης λύσεων", στο οποίο μπορείτε να φορτώσετε ή να αποθηκεύσετε το μοντέλο που πρόκειται να βελτιστοποιηθεί και να καθορίσετε τις διαθέσιμες επιλογές αναζήτησης λύσεων.

"Επαναφορά" - χρησιμεύει για την εκκαθάριση των πεδίων του παραθύρου διαλόγου και την επαναφορά των προεπιλεγμένων τιμών των παραμέτρων αναζήτησης λύσης.

Για να λύσετε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης, ακολουθήστε τα εξής βήματα:

1. Στο μενού «Εργαλεία», επιλέξτε την εντολή «Αναζήτηση λύσης».

2. Στο πεδίο "Ορισμός κελιού στόχου", εισαγάγετε τη διεύθυνση ή το όνομα του κελιού που περιέχει τον τύπο του μοντέλου που πρόκειται να βελτιστοποιηθεί.

3. Για να μεγιστοποιήσετε την τιμή του κελιού-στόχου αλλάζοντας τις τιμές των κελιών που επηρεάζουν, ρυθμίστε το διακόπτη στη θέση μέγιστης τιμής.

Για να ελαχιστοποιήσετε την τιμή του κελιού στόχου αλλάζοντας τις τιμές των κελιών που επηρεάζουν, ρυθμίστε το διακόπτη στη θέση που αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιμή.

Για να ορίσετε την τιμή στο κελί προορισμού σε έναν συγκεκριμένο αριθμό αλλάζοντας τις τιμές των κελιών που επηρεάζουν, ρυθμίστε το διακόπτη σε Τιμή και εισαγάγετε τον επιθυμητό αριθμό στο αντίστοιχο πεδίο.

4. Στο πεδίο "Αλλαγή κελιών", εισαγάγετε ονόματα ή διευθύνσεις μεταβλητά κύτταρα, χωρίζοντάς τα με κόμματα. Τα κύτταρα που τροποποιούνται πρέπει να σχετίζονται άμεσα ή έμμεσα με το κύτταρο στόχο. Μπορούν να εγκατασταθούν έως και 200 ​​μεταβλητές κυψέλες.

Για να βρείτε αυτόματα όλα τα κελιά που επηρεάζουν τον τύπο του μοντέλου, κάντε κλικ στο κουμπί Μαντέψτε.

5. Στο πεδίο «Περιορισμοί», εισαγάγετε τυχόν περιορισμούς που ισχύουν για την αναζήτηση λύσης.

6. Κάντε κλικ στο κουμπί Εκτέλεση.

Για να επαναφέρετε τα αρχικά δεδομένα, ρυθμίστε το διακόπτη στη θέση "Επαναφορά αρχικών τιμών".

Στάδιο Γ.

Για να εμφανίσετε ένα τελικό μήνυμα σχετικά με το αποτέλεσμα της λύσης, χρησιμοποιήστε το πλαίσιο διαλόγου "Αποτελέσματα αναζήτησης λύσεων".

Το πλαίσιο διαλόγου Αποτελέσματα αναζήτησης λύσεων περιέχει τα ακόλουθα πεδία:

"Επαναφορά αρχικών τιμών" - χρησιμεύει για την επαναφορά των αρχικών τιμών των κελιών του μοντέλου που επηρεάζουν.

"Αναφορές" - χρησιμεύει για να υποδείξει τον τύπο της αναφοράς που τοποθετείται σε ξεχωριστό φύλλο του βιβλίου.

"Αποτελέσματα" - χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μιας αναφοράς που αποτελείται από ένα κελί-στόχο και μια λίστα κελιών μοντέλων που επηρεάζουν, την πηγή τους και τελικές αξίες, καθώς και τύπους περιορισμών και πρόσθετες πληροφορίεςσχετικά με τους περιορισμούς που επιβλήθηκαν.

Ισχυρότητα - Χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μιας αναφοράς που περιέχει πληροφορίες σχετικά με την ευαισθησία μιας λύσης σε μικρές αλλαγές στον τύπο (Ορισμός πεδίου κελιού στόχου, πλαίσιο διαλόγου Εύρεση λύσης) ή σε τύπους περιορισμού.

"Περιορισμοί" - χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μιας αναφοράς που αποτελείται από ένα κελί-στόχο και μια λίστα κελιών μοντέλων που επηρεάζουν, τις τιμές τους και τα κάτω και άνω όρια. Αυτή η αναφορά δεν δημιουργείται για μοντέλα των οποίων οι τιμές περιορίζονται σε πολλούς ακέραιους αριθμούς. Το κατώτερο όριο είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να περιέχει το κελί επηρεασμού, ενώ οι τιμές των υπόλοιπων κελιών επηρεασμού είναι σταθερές και ικανοποιούν τους επιβαλλόμενους περιορισμούς. Αντίστοιχα, το ανώτατο όριο είναι η μεγαλύτερη τιμή.

"Αποθήκευση δέσμης ενεργειών" - χρησιμεύει για την εμφάνιση του πλαισίου διαλόγου Αποθήκευση σεναρίου, στο οποίο μπορείτε να αποθηκεύσετε τη δέσμη ενεργειών για την επίλυση του προβλήματος προκειμένου να τη χρησιμοποιήσετε αργότερα χρησιμοποιώντας το MS Excel Script Manager.

Ένα από τα πιθανά προβλήματα και μοντέλα γραμμικής βελτιστοποίησης είναι το πρόβλημα του προγραμματισμού παραγωγής.

Η επιχείρηση πρέπει να παράγει προϊόντα των ακόλουθων τύπων: , Επιπλέον, η ποσότητα κάθε παραγόμενου προϊόντος δεν πρέπει να υπερβαίνει τη ζήτηση και ταυτόχρονα να μην είναι μικρότερη από τις προβλεπόμενες αξίες, αντίστοιχα. Χρησιμοποιείται για την κατασκευή προϊόντων mείδη πρώτων υλών , τα αποθεματικά των οποίων περιορίζονται ανάλογα από τις αξίες Είναι γνωστό ότι για την παραγωγή εγώ-ro τα προϊόντα πηγαίνουν σε μονάδες ι-οι πρώτες ύλες. Το κέρδος που προκύπτει από την πώληση των προϊόντων είναι αντίστοιχα ίσο . Απαιτείται ο προγραμματισμός της παραγωγής προϊόντων με τέτοιο τρόπο ώστε το κέρδος να μεγιστοποιείται και ταυτόχρονα να εκπληρώνεται το σχέδιο για την παραγωγή κάθε προϊόντος, αλλά να μην ξεπερνιέται η ζήτηση για αυτό.

Εργαστηριακή εργασία "Χρησιμοποιώντας το Solution Finder"

Ασκηση:

Λύστε μέσαΠροέχωόλα τα παρακάτω προβλήματα (το καθένα σε ξεχωριστό φύλλο) και αποθηκεύστε τις λύσεις σε ένα αρχείοLAB4.xlsστον δίσκο χρήστη σας.

Πρόβλημα 1 1

Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με χρήση EXCEL. 2

Πρόβλημα 2 4

Πρόβλημα προγραμματισμού παραγωγής χρωμάτων 4

Πρόβλημα 3 5

Διάλυμα πρόβλημα μεταφοράςχρησιμοποιώντας Εύρεση λύσης 5

Πρόβλημα 1

Πρόβλημα κατανομής πόρων.

Εάν τα οικονομικά, ο εξοπλισμός, οι πρώτες ύλες, ακόμη και οι άνθρωποι θεωρούνται πόροι, τότε ένας σημαντικός αριθμός προβλημάτων στην οικονομία μπορεί να θεωρηθεί ως προβλήματα κατανομής πόρων. Αρκετά συχνά μαθηματικό μοντέλοΤέτοια προβλήματα είναι προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού.

Για παράδειγμα:

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί σε ποια ποσότητα είναι απαραίτητο να παραχθούν προϊόντα τεσσάρων τύπων Prod1, Prod2, Prod3, Prod4, η παραγωγή των οποίων απαιτεί τρεις τύπους πόρων: εργασία, πρώτες ύλες, χρηματοδότηση. Η ποσότητα κάθε τύπου πόρου που απαιτείται για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος ενός δεδομένου τύπου ονομάζεται ρυθμός κατανάλωσης. Τα ποσοστά κατανάλωσης, καθώς και το κέρδος που προκύπτει από την πώληση μιας μονάδας κάθε τύπου προϊόντος, δίνονται παρακάτω. Ας δημιουργήσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο, για το οποίο εισάγουμε την ακόλουθη σημείωση:

xι- ποσότητα των παραγόμενων προϊόντων jthσαν, j=1,4;

σιεγώ - ποσότητα του διαθέσιμου πόρου i-thείδος, i=1,3;

έναij- ποσοστό κατανάλωσης i-thπόρος για την παραγωγή μιας μονάδας παραγωγής jthτύπος;

ντοι- κέρδος από την πώληση μιας μονάδας παραγωγής jthτύπος.

Τώρα ας ξεκινήσουμε την κατασκευή του μοντέλου.

Για να παραχθεί μια μονάδα προϊόντος 1, απαιτούνται 6 μονάδες πρώτων υλών, που σημαίνει ότι για την παραγωγή όλων των προϊόντων του Προϊόντος 1, απαιτούνται 6 Χ 1 μονάδες πρώτων υλών, όπου Χ 1 - ποσότητα παραγόμενων προϊόντων Συνεχ.1. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι για άλλους τύπους προϊόντων οι εξαρτήσεις είναι παρόμοιες, ο περιορισμός στις πρώτες ύλες θα μοιάζει με:

6x 1 +5x 2 +4x 3

Σε αυτόν τον περιορισμό, η αριστερή πλευρά είναι ίση με την ποσότητα απαραίτητοςπόρος και το σωστό δείχνει την ποσότητα διαθέσιμοςπόρος. Ομοίως, μπορείτε να δημιουργήσετε περιορισμούς για άλλους πόρους και να γράψετε εξαρτήσεις για αντικειμενική λειτουργία. Τότε το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος θα μοιάζει με αυτό:

F=60x 1 +70x 2 +120x 3 +130x 4 --> μέγ

x 1 +x 2 +x 3 +x 4

6x 1 +5x 2 +4x 3 +3x 4

4x 1 +6x 2 +10x 3 +13x 4

xι>=0; j=1,4

Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με χρήση EXCEL.

1
. Κάντε ενεργό το κελί F6.

2. Οδηγός λειτουργιών  Μαθηματικός  SUMPRODUCT  επίπατήστε το κουμπί Επόμενος.Πλαίσιο διαλόγου στην οθόνη

3. Εισαγάγετε εξαρτήσεις για τις αριστερές πλευρές των περιορισμών.

Εργασία στο παράθυρο διαλόγου Εύρεση λύσης.

1

. Εξυπηρέτηση, εύρεση λύσης...

2 . Δρομέας στο πεδίο Ορισμός κελιού στόχουκαι εισάγετε τη διεύθυνση F6.

3 . Εισαγάγετε την κατεύθυνση της αντικειμενικής συνάρτησης: Μέγιστη αξία.

4 . Δρομέας στο πεδίο Αλλαγή κελιώνκαι εισάγετε τις διευθύνσεις B3:E3

5. Κάντε κλικ στο κουμπίΠροσθέτω... ΚαιVεισάγετε οριακές συνθήκες σε μεταβλητές

6. Αφού εισαγάγετε περιορισμούς, κάντε κλικ στο κουμπίΕκτελώ . Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών στα κελιά B3:E3, θα αντικατοπτρίζονται οι αριθμητικές τιμές x που βρέθηκανεγώ, και στο κελί F6 – η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

ΟΤΙ,είναι σαφές ότι στη βέλτιστη λύση Prod1=B3=10, Prod2=C3=0, Prod3=D3=6, Prod4=E3=0.

Σε αυτήν την περίπτωση, το μέγιστο κέρδος θα είναι F6=1320, το ποσό των πόρων που θα χρησιμοποιηθεί θα είναι εργασία=F9=16, πρώτες ύλες=F10=84, χρηματοδότηση=F11=100.

Χρησιμοποιώντας το πλαίσιο διαλόγου Το αποτέλεσμα της αναζήτησης λύσης. Βρέθηκε λύσηΜπορείτε να λάβετε τρεις τύπους αναφορών: αποτελέσματα, βιωσιμότητα, όρια.

Πρόβλημα 2

Πρόβλημα προγραμματισμού παραγωγής χρωμάτων

Για παραγωγή βαφής για εξωτερικούς χώρους Και εσωτερική εργασία χρησιμοποιούνται δύο αρχικά προϊόντα Α και Β Οι μέγιστες δυνατές ημερήσιες προμήθειες αυτών των προϊόντων είναι 6 και 8 τόνοι, αντίστοιχα.

Καθημερινή ζήτηση για βαφή Για εσωτερική εργασία ποτέ δεν υπερβαίνει τη ζήτηση για βαφή για εξωτερική χρήση περισσότερο από 1t.

Ζήτηση βαφής για εσωτερικές εργασίες δεν υπερβαίνει τους 2 τόνους. ανά ημέρα.

Οι τιμές χονδρικής για έναν τόνο χρωμάτων είναι: 3000 ρούβλια. για βαφή για εξωτερική χρήση και 2000 ρούβλια. για βαφή για εσωτερικές εργασίες .

Πόσο από κάθε τύπο χρώματος πρέπει να παραχθεί για να μεγιστοποιηθούν τα έσοδα από τις πωλήσεις;

Δαπάνες προϊόντων Α και Β ανά 1τ. δίνονται στον πίνακα:

x 1 - ημερήσιος όγκος παραγωγής βαφής για εσωτερικές εργασίες

x 2 - ημερήσιος όγκος παραγωγής βαφής για εξωτερική χρήση

στ - συνολικό ημερήσιο κέρδος από την παραγωγή και των δύο τύπων χρωμάτων (αντικειμενική συνάρτηση)

f = 3000x 1 +2000x 2

Προσδιορίστε σε τι αποδεκτές τιμές x 1 και x 2 f τιμή - μέγιστη

Περιορισμοί:

Επίλυση του προβλήματος στο Excel

Τρέξιμο: Υπηρεσία, Αναζήτηση λύσης

Κύτταρο στόχος C4

Εγκαθιστώ: Μμέγιστη αξία

Μεταβλητά κελιά: A3:B3

Περιορισμοί:

Αφού εισαγάγετε τα δεδομένα, κάντε κλικ στο κουμπί Εκτελώ

Η λύση που προκύπτει:

Συμπέρασμα: η βέλτιστη παραγωγή είναι 3,3 τόνοι βαφής για εξωτερικές εργασίες και 1,3 τόνοι βαφής για εσωτερική εργασία την ημέρα. Αυτός ο όγκος θα αποφέρει κέρδος 12,7 χιλιάδων ρούβλια.

Πρόβλημα 3

Επίλυση ενός προβλήματος μεταφοράς χρησιμοποιώντας το εργαλείο Εύρεση λύσης

Η εταιρεία διαθέτει τέσσερα εργοστάσια: Α, Β, Γ, Δ και πέντε κέντρα διανομής για τα εμπορεύματά της: Νο. 1, Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4, Νο. 5.

Οι παραγωγικές δυνατότητες των εργοστασίων είναι αντίστοιχα:

A – 200, B – 150, C – 225, D – 175 μονάδες παραγωγής καθημερινά.

Οι ανάγκες των κέντρων διανομής είναι ως εξής:

Νο 1 – 100, Νο. 2 – 200, Νο. 3 – 50, Νο. 4 – 250, Νο. 5 – 150 μονάδες προϊόντος καθημερινά.

Η αποθήκευση μιας μονάδας προϊόντος σε ένα εργοστάσιο που δεν παραδίδεται σε κέντρο διανομής κοστίζει 0,75 $ την ημέρα.

Η ποινή καθυστερημένης παράδοσης για ένα προϊόν που παρήγγειλε ένας καταναλωτής σε κέντρο διανομής αλλά δεν βρίσκεται εκεί είναι 2,50 $ ανά ημέρα.

Το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος από τα εργοστάσια στα σημεία διανομής παρουσιάζεται στον πίνακα:

Σχεδιάστε τη μεταφορά με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιήσετε το συνολικό κόστος μεταφοράς.

Το μοντέλο του εξεταζόμενου προβλήματος είναι ισορροπημένο (ο συνολικός όγκος των παραγόμενων προϊόντων είναι ίσος με τον συνολικό όγκο των αναγκών για αυτό), πράγμα που σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να ληφθούν υπόψη τα κόστη που σχετίζονται τόσο με την αποθήκευση όσο και με τις σύντομες παραδόσεις προϊόντων. Διαφορετικά, θα πρέπει να εισαγάγετε το μοντέλο:

Στην περίπτωση της υπερπαραγωγής, ένα εικονικό σημείο διανομής, το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος, το οποίο υποτίθεται ότι είναι ίσο με το κόστος αποθήκευσης, και ο όγκος μεταφοράς είναι ίσος με τον όγκο αποθήκευσης των πλεονασματικών προϊόντων στα εργοστάσια.

Σε περίπτωση έλλειψης, ένα εικονικό εργοστάσιο, το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος από το οποίο θεωρείται ότι είναι ίσο με το κόστος των προστίμων για ελλείψεις στην παραγωγή και ο όγκος μεταφοράς είναι ίσος με τον όγκο των ελλείψεων προϊόντων σε σημεία διανομής.

x ij– όγκος κίνησης από i-thεργοστάσια σε ι-ουκέντρο διανομής.

ντο ij– το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος από i-thεργοστάσια σε ι-ουκέντρο διανομής.

ΕΝΑ εγώ– όγκος παραγωγής ανά i-thεργοστάσιο.

V ι– ζήτηση σε j-mκέντρο διανομής.

Τ

είναι απαραίτητο να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς, δηλ.

Περιορισμοί:

x



ij  0, i , ι

Ο μηχανισμός για την επίλυση ενός προβλήματος στο Excel χρησιμοποιώντας το εργαλείοΕύρεση λύσης

Εισαγάγετε τα έξοδα αποστολής στα κελιά A1:E4.

A6:E9 - αντιστοιχίστε τις τιμές των αγνώστων (όγκοι μεταφοράς).

Στα κελιά G6:G9, εισαγάγετε τους όγκους παραγωγής του εργοστασίου.

B A11:E11 – ζήτηση προϊόντων στα σημεία διανομής.

Στο κελί F10 - εισαγάγετε τη συνάρτηση στόχου

Στο A10:E10 – εισάγετε τύπους που καθορίζουν τον όγκο των προϊόντων που εισάγονται στα κέντρα διανομής

Στο F6: F9 - τύποι που υπολογίζουν τον όγκο των προϊόντων που εξάγονται από τα εργοστάσια.

Υπηρεσία  Εύρεση λύσης

Στο παράθυρο διαλόγου Αναζήτηση λύσης:
Ορίστε το κελί-στόχο $10 F$
Ίσο με mi nελάχιστη τιμή
Αλλαγή κελιών: $A$6:$E$9
Περιορισμοί:
$A$10:$E$10=$A$11:$E$11
$A$6:$E$9>=0
$F$6:$F$9=$G$6:$G$9

Κάντε κλικ στο κουμπί Επιλογές... και επιλέξτε το πλαίσιο Γραμμικό μοντέλο

Κάντε κλικ στο κουμπί Εκτελώ

Η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα μεταφοράς θα αντικατοπτρίζεται στην περιοχή A6:E9

Επιλύστε το πρόβλημα μεταφοράς μόνοι σας χρησιμοποιώντας τον μηχανισμό που περιγράφεται παραπάνω.

Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι το τμήμα από το οποίο άρχισε να αναπτύσσεται ο κλάδος του «μαθηματικού προγραμματισμού». Ο όρος "προγραμματισμός" στο όνομα του κλάδου δεν έχει τίποτα κοινό με τον όρο "προγραμματισμός (δηλαδή μεταγλώττιση προγραμμάτων) για έναν υπολογιστή", καθώς ο κλάδος "γραμμικός προγραμματισμός" εμφανίστηκε πριν από την εποχή που οι υπολογιστές άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως. στην επίλυση μαθηματικών και μηχανικών προβλημάτων, οικονομικών και άλλων προβλημάτων. Ο όρος «γραμμικός προγραμματισμός» προέκυψε ως αποτέλεσμα μιας ανακριβούς μετάφρασης του αγγλικού «γραμμικού προγραμματισμού». Μία από τις σημασίες της λέξης «προγραμματισμός» είναι να κάνεις σχέδια, να προγραμματίζεις. Οθεν, σωστή μετάφρασηΟ «γραμμικός προγραμματισμός» δεν θα ήταν «γραμμικός προγραμματισμός», αλλά «γραμμικός προγραμματισμός», ο οποίος αντικατοπτρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια το περιεχόμενο του κλάδου. Ωστόσο, ο όρος γραμμικός προγραμματισμός, μη γραμμικός προγραμματισμός κ.λπ. έχουν γίνει γενικά αποδεκτά στη λογοτεχνία μας. Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού είναι ένα βολικό μαθηματικό μοντέλο μεγάλο αριθμόοικονομικές εργασίες (σχεδιασμός παραγωγής, κατανάλωση υλικών, μεταφορά κ.λπ.). Η χρήση της μεθόδου γραμμικού προγραμματισμού είναι σημαντική και πολύτιμη - καλύτερη επιλογήεπιλεγμένο από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό εναλλακτικές επιλογές. Επίσης όλοι οικονομικούς στόχους, που λύνονται με χρήση γραμμικού προγραμματισμού, διακρίνονται από την εναλλακτικότητα της λύσης και ορισμένες περιοριστικές συνθήκες στην ηλεκτρονική πίνακες ExcelΧρησιμοποιώντας τη λειτουργία αναζήτησης λύσεων, μπορείτε να αναζητήσετε μια τιμή στο κελί προορισμού και να αλλάξετε την τιμή των μεταβλητών. Σε αυτήν την περίπτωση, για κάθε μεταβλητή μπορείτε να ορίσετε περιορισμούς, για παράδειγμα, ένα ανώτερο όριο. Πριν ξεκινήσετε την αναζήτηση λύσης, είναι απαραίτητο να διατυπώσετε με σαφήνεια το πρόβλημα που επιλύεται στο μοντέλο, δηλ. καθορίζει τις προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται κατά τη βελτιστοποίηση. Στάλθηκε σημείο κατά την αναζήτηση βέλτιστη λύσηείναι το μοντέλο υπολογισμού που δημιουργείται στο φύλλο εργασίας. Το πρόγραμμα αναζήτησης λύσεων απαιτεί τα ακόλουθα δεδομένα. 1. Ένα κελί-στόχος είναι ένα κελί σε ένα μοντέλο υπολογισμού του οποίου οι τιμές πρέπει να μεγιστοποιούνται, να ελαχιστοποιούνται ή να ισούνται με μια συγκεκριμένη καθορισμένη τιμή. Πρέπει να περιέχει έναν τύπο που αναφέρεται άμεσα ή έμμεσα στα κελιά που τροποποιούνται ή πρέπει να τροποποιηθεί το ίδιο. 2. Οι τιμές στα κελιά που αλλάζουν θα αλλάξουν διαδοχικά (με επανάληψη) μέχρι επιθυμητή τιμήστο κελί στόχο. Αυτά τα κύτταρα πρέπει επομένως να επηρεάσουν άμεσα ή έμμεσα την τιμή του κυττάρου στόχου. 3. Μπορείτε να ορίσετε περιορισμούς και οριακές συνθήκες τόσο για τον στόχο όσο και για τα τροποποιημένα κελιά. Μπορείτε επίσης να ορίσετε περιορισμούς για άλλα κελιά. Εμφανίζεται άμεσα ή έμμεσα στο μοντέλο. Το πρόγραμμα παρέχει τη δυνατότητα ρύθμισης ειδικές παραμέτρους, ορίζοντας τη διαδικασία εξεύρεσης λύσης. Αφού ρυθμίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους, μπορείτε να ξεκινήσετε την αναζήτηση μιας λύσης. Η λειτουργία αναζήτησης λύσεων θα δημιουργήσει τρεις αναφορές με βάση τα αποτελέσματα της εργασίας της, οι οποίες μπορούν να επισημανθούν στο βιβλίο εργασίας Οι περιορισμοί είναι οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληροί το εργαλείο αναζήτησης λύσεων κατά τη βελτιστοποίηση του μοντέλου.

Μια μελέτη της βιβλιογραφίας έδειξε ότι:

1. Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι ένα από τα πρώτα και πιο διεξοδικά μελετημένα τμήματα του μαθηματικού προγραμματισμού. Ήταν ο γραμμικός προγραμματισμός που ήταν το τμήμα από το οποίο άρχισε να αναπτύσσεται ο ίδιος ο κλάδος του «μαθηματικού προγραμματισμού».

Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος βελτιστοποίησης. Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

• · Ορθολογική χρήση πρώτων υλών και προμηθειών. κοπή προβλημάτων βελτιστοποίησης?
• · βελτιστοποίηση πρόγραμμα παραγωγήςεπιχειρήσεις·
• · βέλτιστη τοποθέτησηκαι συγκέντρωση της παραγωγής·
• · κατάρτιση βέλτιστο σχέδιομεταφορές, εργασίες μεταφοράς?
• · διαχείριση αποθεμάτων.
• · και πολλά άλλα που ανήκουν στον τομέα του βέλτιστου σχεδιασμού.
• 2. Η γραφική μέθοδος είναι αρκετά απλή και διαισθητική για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με δύο μεταβλητές. Βασίζεται στη γεωμετρική αναπαράσταση εφικτών λύσεων και TF του προβλήματος.

Η ουσία γραφική μέθοδοςέχει ως εξής. Στην κατεύθυνση (έναντι της κατεύθυνσης) του διανύσματος στο ODR, αναζητείται το βέλτιστο σημείο. Το βέλτιστο σημείο είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή επιπέδου, που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης. Η βέλτιστη λύση βρίσκεται πάντα στο όριο του ODD, για παράδειγμα, στην τελευταία κορυφή του πολυγώνου ODD από το οποίο θα περάσει η γραμμή στόχος ή σε ολόκληρη την πλευρά του.

Σκοπός της εργασίας:μελέτη σύγχρονου λογισμικού για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. πρακτική επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο, τη μέθοδο simplex και τα εργαλεία του Microsoft Excel. εφαρμογή λογισμικού της μεθόδου simplex σε γλώσσα προγραμματισμού υψηλού επιπέδου.

1. Θεωρητικό μέρος

Υπάρχει ένα πρόσθετο για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού στο Microsoft Excel Εύρεση λύσης, πρόσβαση από το μενού Υπηρεσία.

Αν η ομάδα Εύρεση λύσηςόχι στο μενού Υπηρεσία, τότε πρέπει να εγκαταστήσετε το πρόσθετο «Αναζήτηση λύσεων». Για να το κάνετε αυτό στο μενού Υπηρεσίαεπιλέγεται η ομάδα Πρόσθετα, το οποίο ανοίγει το πλαίσιο διαλόγου που φαίνεται στην Εικ. 1.

Θα δείξουμε τη χρήση του πρόσθετου «Αναζήτηση λύσης» χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης του παρακάτω προβλήματος.

Δήλωση του προβλήματος

Η εταιρεία κατασκευάζει και εμπορεύεται τρία είδη προϊόντων: Π 1 , R 2 και R 3. Τρεις τύποι πόρων χρησιμοποιούνται για την παραγωγή προϊόντων - εξαρτήματα, πρώτες ύλες και υλικά. Τα αποθέματα πόρων και η κατανάλωσή τους για την παραγωγή μιας μονάδας κάθε τύπου προϊόντος δίνονται στον Πίνακα. 1.

Πίνακας 1

Το κέρδος από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος κάθε τύπου είναι 240, 210 και 180 χρηματικές μονάδες για Π 1 , R 2 και R 3 αντίστοιχα.

Απαιτείται ο καθορισμός του προγράμματος παραγωγής της επιχείρησης με τέτοιο τρόπο ώστε το κέρδος από την πώληση των προϊόντων να μεγιστοποιείται.

Μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος

Ας υποδηλώσουμε με μεταβλητές x 1 , x 2 και x 3 απαιτούμενοι όγκοι παραγωγής τύπων προϊόντων Π 1 , R 2 και R 2, και μετά φά– τα κέρδη της επιχείρησης. Στη συνέχεια η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος που παρουσιάζεται παίρνει την παρακάτω μορφή.

Προσδιορισμός μεταβλητών τιμών x 1 , x 2 και x 3 για το οποίο επιτυγχάνεται το μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης

φά = 240 x 1 + 210 Χ 2 + 180 x 3

με περιορισμούς:

Η αντικειμενική συνάρτηση περιγράφει το συνολικό κέρδος από την πώληση βιομηχανοποιημένων προϊόντων και των τριών τύπων. Οι περιορισμοί (1), (2) και (3) λαμβάνουν υπόψη την κατανάλωση και τα αποθέματα εξαρτημάτων, πρώτων υλών και υλικών, αντίστοιχα. Δεδομένου ότι οι όγκοι παραγωγής δεν μπορούν να είναι αρνητικοί, προστίθενται όροι

x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Η σειρά της βέλτιστης επίλυσης του προβλήματος

Παρουσιάζουμε τις κατά προσέγγιση ενέργειες που απαιτούνται για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας το Excel ως μια ακολουθία βημάτων.

Βήμα 1.Τα αρχικά δεδομένα της εργασίας καταγράφονται στο φύλλο εργασίας υπολογιστικό φύλλο. Μία από τις επιλογές φαίνεται στο Σχ. 2.

Σχόλιο.Εάν η αρχική είναι αποδεκτή βασική λύση, τότε μπορείτε να επιταχύνετε κάπως τη διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης λύσης. Για να γίνει αυτό, οι αρχικές τιμές ορισμένων ή όλων των μεταβλητών μπορούν να ρυθμιστούν χειροκίνητα. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαΤα κελιά $B$2, $C$2 και $D$2 χρησιμοποιούνται για την αποθήκευσή τους. Εάν δεν έχει καθοριστεί μια έγκυρη βασική λύση, το Excel καθορίζει αυτόματα τις αρχικές τιμές των μεταβλητών του προβλήματος.

Βήμα 2.Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί E3

SUMPRODUCT(B3:D3, $B$2:$D$2)

για τον υπολογισμό της τρέχουσας τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία βρίσκει το άθροισμα των κατά ζεύγη γινομένων των κελιών (B3:D3) με συντελεστές για μεταβλητές στην έκφραση της αντικειμενικής συνάρτησης στα κελιά ($B$2:$D$2) με τις τρέχουσες τιμές των μεταβλητών.

Βήμα 3.Για να ορίσετε τους περιορισμούς του προβλήματος που επιλύεται, ο τύπος από το κελί E3 αντιγράφεται στα κελιά E5, E6 και E7. Μετά από αυτό, οι τύποι που παρουσιάζονται στον πίνακα θα πρέπει να ληφθούν στα υποδεικνυόμενα κελιά. 2.

Πίνακας 2

Βήμα 4.Μετά τη δημιουργία ενός πίνακα με τα δεδομένα προέλευσης, ο δρομέας τοποθετείται στο κελί E3, το οποίο περιέχει τον τύπο για τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης. Επόμενο στο μενού Υπηρεσία επιλέγεται η ομάδα Εύρεση λύσης, το οποίο ανοίγει το πλαίσιο διαλόγου που φαίνεται στην Εικ. 3.

Στο χωράφι Ορισμός κελιού στόχου παράθυρο "Αναζήτηση λύσης" που φαίνεται στο Σχ. 3, θα πρέπει να εμφανίζεται η διεύθυνση του κελιού με τον τύπο της αντικειμενικής συνάρτησης (σε αυτό το παράδειγμα είναι το κελί $E$3).

Στη συνέχεια, σε αυτό το παράθυρο (Εικ. 3) συμπληρώνονται τα ακόλουθα πεδία αυτού του παραθύρου:

Στο χωράφι Ισος ο διακόπτης για τον τύπο του άκρου της αντικειμενικής συνάρτησης έχει ρυθμιστεί στη θέση μέγιστη αξία (ή ελάχιστη τιμή με κατάλληλη διατύπωση του προβλήματος).

Στο χωράφι Αλλαγή κελιών υποδεικνύει το εύρος των κελιών με τις τιμές των μεταβλητών εργασιών, που έχουν εκχωρηθεί στο φύλλο εργασίας του υπολογιστικού φύλλου (στο παράδειγμα, αυτά είναι τα κελιά $B$2:$D$2).

Στο χωράφι Περιορισμοί καθορίζονται οι περιορισμοί του αρχικού προβλήματος. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο εισαγωγής περιορισμών και πατήστε το κουμπί Προσθέτω . Ως αποτέλεσμα, εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Προσθήκη περιορισμού», που φαίνεται στην Εικ. 4.

Σε αυτό το παράθυρο στο πεδίο Αναφορά κυττάρων πληκτρολογήστε τη διεύθυνση του κελιού με τον τύπο του αντίστοιχου περιορισμού (για παράδειγμα, για τον περιορισμό (1) αυτό θα είναι το κελί E5) και στο πεδίο Περιορισμός υποδεικνύει την οριακή τιμή που μπορεί να λάβει ο επιλεγμένος περιορισμός (σε αυτό το παράδειγμα δεξιά πλευράπεριορισμοί (1) είναι στο κελί G5).

Σημειώνεται ότι η συμπλήρωση των πεδίων Αναφορά κυττάρων Και Περιορισμός στο παράθυρο "Προσθήκη περιορισμού", μπορείτε να το κάνετε επιλέγοντας τα αντίστοιχα κελιά του φύλλου εργασίας του υπολογιστικού φύλλου.

Στη συνέχεια επιλέγεται ο τύπος σχέσης που συνδέει το αριστερό και το δεξιό τμήμα του περιορισμού, όπως φαίνεται στο Σχ. 5.

Αφού πατήσετε το κουμπί Προσθέτω στο παράθυρο "Προσθήκη περιορισμού". (ή κουμπιά ΕΝΤΑΞΕΙ Για εισάγοντας τον τελευταίο περιορισμό), αυτός ο περιορισμός περιλαμβάνεται στη λίστα των περιορισμών του προβλήματος που επιλύεται. Χρήση κουμπιών Διαγράφω Και Αλλαγή Μπορείτε να διαγράψετε τους περιορισμούς που επισημαίνονται στη λίστα ή να κάνετε διορθώσεις σε αυτούς.

Σχόλιο. Στο παράθυρο "Προσθήκη περιορισμού", μπορείτε να καθορίσετε ότι όλες ή ορισμένες μεταβλητές θα πρέπει να λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές (Εικ. 5). Αυτό σας επιτρέπει να λαμβάνετε λύσεις σε ακέραια προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού (πλήρης ή μερικώς ακέραιος).

Βήμα 5.Αφού συμπληρώσετε όλα τα πεδία στο παράθυρο «Αναζήτηση λύσης», πατήστε το κουμπί Επιλογές (Εικ. 3), το οποίο ανοίγει το πλαίσιο διαλόγου «Επιλογές αναζήτησης λύσεων» που φαίνεται στην Εικ. 6.

Σε αυτό το παράθυρο πρέπει να επιλέξετε τα πλαίσια Γραμμικό μοντέλο να λύσει ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού και Μη αρνητικές τιμές , εάν μια τέτοια συνθήκη επιβάλλεται σε όλες τις μεταβλητές εργασιών.

Εδώ (Εικ. 6) μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε τις παραμέτρους της διαδικασίας επίλυσης: τον μέγιστο χρόνο εύρεσης λύσης, τον μέγιστο αριθμό επαναλήψεων, την ακρίβεια κ.λπ. Πλαίσιο ελέγχου Εμφάνιση αποτελεσμάτων επαναλήψεις σας επιτρέπει να παρακολουθείτε βήμα προς βήμα την αναζήτηση λύσης. Πλαίσιο ελέγχου Αυτόματη κλιμάκωση ενεργοποιείται όταν η εξάπλωση των μεταβλητών τιμών είναι πολύ μεγάλη.

Βήμα 6.Έχοντας ρωτήσει απαιτούμενες παραμέτρουςστο παράθυρο "Επιλογές αναζήτησης λύσεων", κάντε κλικ στο κουμπί Εκτελώ για να αναζητήσετε μια λύση στο πρόβλημα (Εικ. 3) στο παράθυρο «Αναζήτηση λύσης». Εάν βρεθεί λύση, εμφανίζεται στην οθόνη ένα παράθυρο με αντίστοιχο μήνυμα (Εικ. 7).

Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται εμφανίζονται σε ένα φύλλο εργασίας υπολογιστικού φύλλου, όπως φαίνεται στο Σχ. 8. Συγκεκριμένα, οι τιμές των μεταβλητών βρίσκονται στα κελιά $B$2:$D$2, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης βρίσκεται στο κελί E3.

Έτσι, η βέλτιστη λύση στο αρχικό πρόβλημα λαμβάνεται με τη μορφή ενός διανύσματος
, Πού
,
Και
, για την οποία η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φάμέγιστο και ανέρχεται σε φά* = 129825.

Τα αποτελέσματα της επίλυσης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μπορούν επίσης να αποθηκευτούν ως ξεχωριστά φύλλα εργασίας με όνομα Αναφορά αποτελεσμάτων, Έκθεση βιωσιμότητας Και Αναφορά ορίου. Για να αποθηκεύσετε τα αποτελέσματα με τη μορφή αναφορών, πρέπει πρώτα να βρίσκεστε στο πεδίο Τύπος αναφοράς επιλέξτε τους απαιτούμενους τύπους αναφορών (Εικ. 7). Στο ίδιο παράθυρο, μπορείτε να απορρίψετε τις λύσεις που ελήφθησαν και να επαναφέρετε τις αρχικές τιμές των μεταβλητών.

Αναφορά αποτελεσμάτωνγια το εξεταζόμενο πρόβλημα φαίνεται στο Σχ. 9.

Αυτή η αναφορά παρουσιάζει τη βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού και τη θέση του στην περιοχή των εφικτών λύσεων. Σε γραφήματα Αποτέλεσμα εμφανίζονται οι βέλτιστες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης φά* και μεταβλητές εργασιών
, καθώς και τις τιμές τους για την αρχική βασική λύση από την οποία ξεκίνησε η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης (γραφική παράσταση Αρχική αξία ). Κατάσταση περιορισμών (στήλη Κατάσταση ) χαρακτηρίζει τη θέση του σημείου
στην περιοχή των εφικτών λύσεων. Κόμης Διαφορά δείχνει τις διαφορές μεταξύ των τιμών του αριστερού και του δεξιού τμήματος των περιορισμών (υπολείμματα). Για τον συσχετισμένο περιορισμό, το υπόλοιπο είναι μηδέν, το οποίο υποδεικνύει τη θέση του σημείου
στο όριο της περιοχής των εφικτών λύσεων, το οποίο καθορίζεται από αυτόν τον περιορισμό. Εάν ο περιορισμός είναι άσχετος, τότε δεν επηρεάζει τη βέλτιστη λύση.

Σχόλιο. Στην οικονομική ερμηνεία, οι δεσμευμένοι περιορισμοί αντιστοιχούν σε σπάνιους πόρους. Για άσχετους περιορισμούς γραφήματος Διαφορά δείχνει τους υπόλοιπους όγκους αχρησιμοποίητων μη σπάνιων πόρων. Στο εξεταζόμενο πρόβλημα, οι περιορισμοί (1) και (3) αντιστοιχούν σε εξαρτήματα και υλικά που είναι σπάνιοι πόροι. Ο περιορισμός (2) δεν σχετίζεται, δηλ. δεν επηρεάζει το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής σύμφωνα με το κριτήριο του μέγιστου κέρδους. Αυτό σημαίνει ότι ο δεύτερος πόρος (πρώτες ύλες) δεν χρησιμοποιήθηκε στο ποσό των 292,5 μονάδων.

ΣΕ έκθεση βιωσιμότητας (ρύζι. 10 ) δίνονται τα όρια σταθερότητας των μεταβλητών του προβλήματος (γραφήματα Επιτρεπόμενη αύξηση Και Επιτρεπόμενη μείωση συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης), καθώς και τα όρια σταθερότητας των σκιωδών τιμών (δηλαδή, μεταβλητές του διπλού προβλήματος), εντός των οποίων η βέλτιστη λύση δεν αλλάζει. Οι μεγάλες τιμές των ορίων (1E+30) σημαίνουν την πραγματική απουσία αντίστοιχων ορίων, δηλ. η μεταβλητή μπορεί να αλλάζει επ' αόριστον.

Στη στήλη Ισοπεδοποιημένο κόστος το στοιχείο στη δεύτερη γραμμή (-150) δείχνει πόσο θα μειωθεί η τιμή της συνάρτησης εάν η λύση περιέχει μια μεταβλητή x 2 αύξηση κατά ένα. Από την άλλη, με αποδεκτή αύξηση του συντελεστή συνάρτησης για έναν άγνωστο x 2 επί 150 μονάδες η τιμή αυτής της μεταβλητής δεν θα αλλάξει, δηλ. άγνωστος xΤο 2 θα είναι ίσο με μηδέν και αν υπερβείτε την επιτρεπόμενη αύξηση (συντελεστής στο x 2 αύξηση κατά περισσότερο από 150), τότε άγνωστο xΤο 2 στη λύση θα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

ΣΕ έκθεση για τα όρια(Εικ. 11) δείχνει το κατώτερο και το ανώτερο όριο των πιθανών αλλαγών σε μεταβλητές (εντός του εύρους των εφικτών λύσεων) και τις αντίστοιχες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης (γραφική παράσταση Στόχος το αποτέλεσμα ) με αυτές τις αλλαγές. Ειδικότερα, εάν x 1 = 0 και x 2 και x 3 παραμένουν αμετάβλητα, λοιπόν φά= 2400 + 2100 + 180191,25 = 34425; στο x 3 = 0 και αμετάβλητο x 1 και x 2 παίρνουμε φά = 240397,5 + 2100 + 1800 = 95400.