Уравнение бернулли. Внутреннее гидростатическое давление в трубах

Воспользовавшись уравнением (1.32), можно найти связь между давлением, скоростью и плотностью жидкости в любом сечении установившегося потока жидкости.

Так как движение потока происходит под действием одной лишь силы тяжести, то Х = 0,Y = 0, aZ = –g . В этом случае уравнение (1.32) приобретает вид

либо

. (1.40)

Полученное уравнение (1.40) является уравнением Бернулли для установившегося потока идеальной жидкости. Каждое из слагаемых этого уравнения представляет собой удельную энергию жидкости в данном сечении потока:

– удельная энергия давления;

– удельная энергия положения;

– удельная кинетическая энергия.

Первые два слагаемых уравнения Бернулли выражают потенциальную энергию жидкости, а в сумме все три вида удельной энергии составляют полную удельную энергию потока жидкости в данном сечении.

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении потока является величиной постоянной.

Кроме понятия удельной энергии, в гидравлике используется также понятие полного напора H , под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести. В таком случае, можно записать:

, (1.41)

где – пьезометрический напор, уравновешивающий гидростатическое давление в данном сечении потока;– нивелирный или геометрический напор, определяющий высоту расположения данного сечения относительно плоскости отчета;– скоростной или динамический напор.

Таким образом, полный напор H слагается из статическогоН ст и динамическогоН дин напоров:

,

где

;

.

При движении реальной жидкости часть энергии расходуется на преодоление сопротивлений на пути потока, поэтому полная удельная энергия потока в каждом последующем его сечении будет меньше, чем в предыдущем, а уравнение Бернулли с учетом этого можно будет записать:

, (1.42)

где

– потерянный напор, учитывающий потерю энергии на участке потока между двумя рассматриваемыми сечениями.

1. Теория движения жидкости по трубам

Перемещение жидкостей и газов осуществляется в основном по трубопроводам. Поток вещества внутри трубопровода создается за счёт разности давлений или напоров на концах трубопровода.

Распределение скоростей по сечению трубопровода

При ламинарном движении жидкости в горизонтальной трубе, радиус которойR , а длиннаl (рис. 1.8),весь поток можно представить состоящим из ряда соосных кольцевых слоёв, скорость которых возрастает от стенки трубы к её оси. Для выделенного внутри потока цилиндра радиусаr уравнение динамического равновесия будет иметь вид:

так как при установившемся течении сила давления на одно торцевое сечение потока уравновешивается силой давления на другое торцевое сечение и силой внутреннего трения (так как скорость w с увеличением радиусаr уменьшается, знак при силе трения меняется на положительный).

Рисунок 1.8 – К выводу уравнения ламинарного движения ньютоновских жидкостей

В результате интегрирования уравнения (1.44) и решения его относительно скорости, получим:

(1.45)

По оси трубопровода r = 0, следовательно

(1.46)

(1.46а)

Последнее уравнение представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

Объёмный расход жидкости в рассматриваемом трубопроводе через элементарное кольцо радиусом r и толщинойdr (рис. 1.8)

. (1.47)

Выразив в последнем уравнении w r через его значение из уравнения (1.45) и проинтегрировав уравнение (1.47), найдемV :

. (1.48)

Уравнение (1.48) носит название уравнения Гаген‑Пуазейля.

Если выразить объемный расход жидкости через площадь сечения потока и его среднюю скорость, то можно получить выражение для средней скорости ламинарного потока w :

либо

. (1.49)

Сравнивая уравнение (1.49) с уравнением (1.46) приходим к выводу, что

, то есть средняя скорость потока в трубе круглого сечения при ламинарном режиме движения равна половине максимальной скорости.

При турбулентном режиме движения наблюдается интенсивное непрерывное перемешивание частиц жидкости в результате их перемещения в направлении, перпендикулярном к основному направлению движения потока. При этом возникают мгновенные изменения величин и направлений скоростей движения отдельных частиц, называемые пульсацией скоростей.

На основании экспериментальных исследований и теоретических предположений принята следующая структура турбулентного потока. У стенок трубы существует тонкийслой жидкости толщиной, движущийся по законам ламинарного потока и называемый вязким (ламинарным) подслоем. Центральная часть потока, называемая ядром, движется турбулентно с почти одинаковой для всех частиц скоростью. Между ядром и вязким подслоем находится относительно небольшая переходная зона.

В ламинарном подслое распределение скоростей можно считать линейным:

(1.51)

где r – расстояние от оси трубы (в направлении, перпендикулярном стенке); л – толщина ламинарного подслоя (порядка 1 мм).

В турбулентном ядре распределение осреднённых скоростей в пределах изменения значений критерия Рейнольдса от 10 4 до 10 5 хорошо описывается степенной зависимостью:

, (1.52)

где n зависит от величины критерия Рейнольдса и в данных пределах может быть принято (по экспериментальным данным) равным 7.

Приближенно принимают для турбулентного режима:

При этом большие значения соответствуют большему значению числа Рейнольдса.

Из изложенного выше следует, что при турбулентном режиме скорости распределены более равномерно по сечению потока по сравнению с распределением скоростей при ламинарном режиме.

При наблюдении за движением жидкости в трубах и каналах, можно заметить, что в одном случае жидкость сохраняет определенный строй своих частиц, а в других - перемещаются бессистемно. Однако исчерпывающие опыты по этому вопросу были проведены Рейнольдсом в 1883 г. На рис. 4.1 изображена установка, аналогичная той, на которой Рейнольдс производил свои опыты.

Рис. 4.1. Схема установки Рейнольдса

Установка состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором краски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В.

Первый случай движения жидкости. Если немного приоткрыть кран С и дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная в трубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Если при этом, если к трубе подсоединить пьезометр или трубку Пито, то они покажут неизменность давления и скорости по времени. Такой режим движения называется ламинарный.

Второй случай движения жидкости. При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, затем размывается и перемешивается с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито при этом покажут непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды. Такое течение называется турбулентным (рис.4.1, вверху).

Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.

Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.

Потери напора при ламинарном течении жидкости

Как показывают исследования, при ламинарном течении жидкости в круглой трубе максимальная скорость находится на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастаю плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью - квадратичную параболу (рис.4.3).

Рис. 4.3. Схема для рассмотрения ламинарного потока

Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:

где P1 и P2 - давления соответственно в сечениях 1 и 2.

У стенок трубы величина r = R, значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Так как эпюра распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем.

Максимальная скорость дает высоту параболоида

Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью ρR2 равен

а в нашем случае

Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула (4.4) приобретет вид

Расход в трубе можно выразить через среднюю скорость:

Для определения потерь напора при ламинарном течении жидкости в круглой трубе рассмотрим участок трубы длиной l, по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рис.4.3).

Потеря давления в трубопроводе будет равна

Если в формуле динамический коэффициент вязкости μ заменить через кинематический коэффициент вязкости υ и плотность ρ (μ = υ ρ) и разделить обе части равенства на объемный вес жидкости γ = ρ g, то получим:

Так как левая часть полученного равенства равна потерям напора hпот в трубе постоянного диаметра, то окончательно это равенство примет вид:

Уравнение может быть преобразовано в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так:

где λ - коэффициент гидравлического трения, который для ламинарного потока вычисляется по выражению:

Однако при ламинарном режиме для определения коэффициента гидравлического трения λ Т.М. Башта рекомендует при Re < 2300 применять формулу

Гидравлические сопротивления.

При течении жидкости по трубам ей приходится затрачивать энергию на преодоление сил внешнего и внутреннего трения. В прямых участках труб эти силы сопротивления действуют по всей длине потока и общая потеря энергии на их преодоление прямо пропорциональна длине трубы. Такие сопротивления называются линейными. Их величина (потеря давления) зависит от плотности и вязкости жидкости, а также от диаметра трубы (чем меньше диаметр, тем больше сопротивление), скорости течения (увеличение скорости увеличивает потери) и чистоты внутренней поверхности трубы (чем больше шероховатость стенок, тем больше сопротивление).

Кроме трения в прямых участках, в трубопроводах встречаются дополнительные сопротивления в виде поворотов потока, изменений сечения, кранов, ответвлений и т. п. В этих случаях структура потока нарушается и его энергия затрачивается на перестроение, завихрения, удары. Такие сопротивления называют местными. Линейные и местные сопротивления являются двумя разновидностями так называемых гидравлических сопротивлений, определение которых составляет основу расчета любых гидравлических систем.

Режимы течения жидкости.. В практике наблюдаются два характерных режима течения жидкостей: ламинарный и турбулентный.

При ламинарном режиме элементарные струйки потока текут параллельно, не перемешиваясь. Если в такой поток ввести струйку окрашенной жидкости, то она будет продолжать свое течение в виде тонкой нити среди потока неокрашенной жидкости, не размываясь. Такой режим течения возможен при очень малых скоростях потока. С увеличением скорости выше определенного предела течение становится турбулентным, вихреобразным, при котором жидкость в пределах поперечного сечения трубопровода интенсивно перемешивается. При постепенном увеличении скорости окрашенная струйка в потоке сначала начинает колебаться относительно своей оси, затем в ней появляются разрывы из-за перемешивания с другими струями и затем вследствие этого весь поток получает равномерную окраску.

Наличие того или иного режима течения зависит от величины отношения кинетической энергии потока 1 1

(■п-гпи2=ч-рУи2) к работе сил внут-реннего трения (/7 = р„5^/)-см. (2.9).

Это безразмерное отношение

^-pVv21 (р,5^/) можно упростить имея в виду, что Ды пропорционально V. Величины 1 и А/г также имеют одну и ту же размерность, и их можно сократить, а отношение объема V к поперечному сечению 5 является линейным размером й.

Тогда отношение кинетической энергии к работе сил внутреннего трения с точностью до постоянных множителей можно характеризовать безразмерным комплексом:

который называется числом (или критерием) Рейнольдса в честь английского физика Осборна Рейнольдса, в конце прошлого века экспериментально наблюдавшего наличие двух режимов течения.

Малые значения чисел Рейнольдса свидетельствуют о преобладании работы сил внутреннего трения в потоке жидкости и соответствуют ламинарному течению. Большие значения Йе соответствуют преобладанию кинетической энергии и турбулентному режиму течения. Граница начала перехода одного режима в другой - критическое число Рейнольдса - составляет 1?екр = 2300 для круглых труб (в качестве характерного размера принимается диаметр трубы).

В технике, в том числе и тепловозной, в гидравлических (в том числе воздушных и газовых) системах обычно имеет место турбулентное течение жидкостей. Ламинарный режим бывает лишь у вязких жидкостей (например, масло) при малых скоростях течения и в тонких каналах (плоские трубки радиатора).

Расчет гидравлических сопротивлений. Линейные потери напора определяются по формуле Дарси-Вейсбаха:

где X («лямбда») - коэффициент линейного сопротивления, зависящий от числа Рейнольдса. Для ламинарного потока в круглой трубе Я, = 64/Ие (зависит от скорости), для турбулентных потоков величина к мало зависит от скорости и, главным образом, определяется шероховатостью стенок труб.

Местные потери напора также считаются пропорциональными квадрату скорости и определяются так:

где £ («дзета») - коэффициент местного сопротивления, зависящий от типа сопротивления (поворот, расширение и т. п.) и от его геометрических характеристик.

Коэффициенты местного сопротивления устанавливаются опытным путем, их значения приводятся в справочниках.

Понятие о расчете гидравлических систем. При расчете любой гидравлической системы решается обычно одна из двух задач: определение необходимого перепада давлений (напора) для пропуска данного расхода жидкости или определение расхода жидкости в системе при заданном перепаде давлений.

В любом случае должна быть определена полная потеря напора в системе АН, которая равна сумме сопротивлений всех участков системы, т. е. сумме линейных сопротивлений" всех прямых участков трубопроводов и местных сопротивлений других элементов системы:

Если во всех участках трубопровода средняя скорость течения одинакова, уравнение (2.33) упрощается:

Обычно в системе имеются участки, скорости течения в которых отличаются друг от друга. В этом случае удобно привести уравнение (2.33) к другой форме, учитывая что расход жидкости постоянен для всех элементов системы (без ответвлений). Подставив в условие (2.33) значения и = С}/5, получим

гидравлическая характеристика, или общий коэффициент сопротивления системы.

Необходимо иметь в виду, что расчет трубопроводов не является решением задачи с одним определенным ответом. Его результаты зависят от выбора величины диаметров участков трубопровода или скоростей в них. Действительно, можно принять в расчете невысокие значения скоростей и получить небольшие потери напора. Но тогда при заданном расходе сечения трубопроводов (диаметры) должны быть большими, система будет громоздкой и тяжелой. Приняв высокие скорости течения в трубах, мы уменьшим их поперечные размеры, но при этом существенно (пропорционально квадрату скорости) возрастут потери напора и затраты энергии на работу системы. Поэтому при расчетах обычно задаются какими-то средними, «оптимальными», значениями скоростей течения жидкости. Для водяных систем оптимальная скорость имеет порядок примерно 1 м/с, для воздушных систем низкого давления - 8- 12 м/с.

Гидравлический удар представляет собой явление, происходящее в потоке жидкости при быстром изменении скорости его течения (например, при резком закрытии задвижки в трубопроводе или остановке насоса). В этом случае кинетическая энергия потока мгновенно переходит в потенциальную энергию и давление потока перед задвижкой резко возрастает. Область повышенного давления затем распространяется от задвижки в сторону еще не заторможенного полностью потока со скоростью, близкой к скорости звука а в этой среде.

Резкое повышение давления приводит если не к разрушению, то к упругой деформации элементов трубопровода, что уменьшает силу удара, но усиливает колебания давления жидкости в трубе. Величина скачка давления при полной остановке потока жидкости, имевшего скорость v, определяется по формуле выдающегося русского ученого - профессора Н. Е. Жуковского, полученной им в 1898 г.: Др = раа, где р - плотность жидкости.

С целью предотвращения ударных явлений в крупных гидравлических системах (например, водопроводных сетях) запорные устройства выполняют так, чтобы их закрытие происходило постепенно.

Рассмотрим цилиндрическую трубу радиуса R и выделим в ней цилиндр с меньшим радиусом r . Площадь сечения малого цилиндра будет S = pr 2 ; площадь боковой поверхности цилиндра будет S = 2prl . Здесь действуют две силы: сила, которая гонит жидкость по трубе, то есть сила, равная разности сил давления на жидкость справа и слева трубы F = F1 – F2 = p1pr 2 – p2pr 2 = (p1 – p2)pr 2 и сила жидкого трения о стенки трубы Fтр = h(dv/dr)S = h(dv/dr)2prl. Эти силы равны по модулю, но противоположно направлены. Приравняем их: F = Fтр

(p1 – p2) = -h(dv/dr)2prl

Знак минус в правой части уравнения говорит о том, что dv/dr < 0 , т.е. скорость жидкости уменьшается с увеличением радиуса r, иными словами, чем ближе к стенкам трубы, тем скорость жидкости меньше. Или:

dv = (p1-p2) rdr

Мы получили дифференциальное уравнение. Решая его, получим:

Окончательно получим:

v = (p1 – p2) (R 2 – r 2)

Согласно этому уравнению, при перемещении от центра трубы к периферии, скорость течения жидкости изменяется по параболическому закону:

Если r = 0, то есть по оси цилиндра, то v = (p1 – p2)R 2 /4lh имеет наибольшее значение, т.е. v = vmax Если же r = R, то v = 0

Следовательно, наибольшая скорость течения жидкости – по оси трубы, а у стенки – наименьшая.

Закон Пуазейля. Гидравлическое

(периферическое) сопротивление.

Французский врач и физик Пуазейль, изучая движение жидкости по цилиндрической трубе, вывел закон, который получил его имя.

Введём единицу Q , которая будет обозначать секундный объём жидкости, протекающий через трубу, т.е. Q = V/t или dQ = vdS или dQ = v2prdr

Имеем из предыдущего параграфа:

v = (p1 – p2) (R 2 – r 2)

dQ = p(p1 – p2) (R 2 – r 2)rdr

Получили дифференциальное уравнение. Решая его, интегрируя по всему сечению, получим:

Q = (p1 – p2)pR 4

Можно сравнить его с законом Ома для участка цепи: I = U/R

U~ (p1 – p2)

Q = (p1 – p2)/Z

Здесь Z = 8lh/pR 4 - гидравлическое (периферическое) сопротивление.

Следует отметить, что оно сильно зависит от радиуса трубы. При увеличении радиуса трубы в 2 раза, гидравлическое сопротивление уменьшается в 16 раз! Вот как выгодно для уменьшения сопротивления увеличивать радиус трубы.

Ламинарное и турбулентное течение.

Число Рейнольдса.

Когда жидкость течёт в трубе, то можно заметить такую закономерность: когда скорость жидкости мала, то её течение – плавное и скорость течения по мере удаления от оси трубы изменяется по параболическому закону. Такое течение называется ламинарным.

Когда же скорость движения жидкости станет выше определённого значения, в потоке жидкости появляются завихрения и порядок перемещения слоёв нарушается. Такое течение называется турбулентным (от слова турбо- обозначает вихрь) .

Турбулентное движение жидкости создаёт шум, тогда как ламинарное движение – бесшумно.

Критерием перехода от ламинарного движения к турбулентному служит число Рейнольдса

Re = rvD/h

Если Re > Reкр - то движение жидкости становится турбулентным.

Для гладких цилиндрических труб Reкр =2300 .

Число Рейнольдса ещё можно записать в следующем виде:

Re = vD/n

Здесь n - кинематическая вязкость м 2 \с . В системе СГС единицей кинематической вязкости является стокс. 1ст = 10 -4 м 2 \с.

Чем шире труба – тем на меньшей скорости возникает турбулентность

Мы часто в жизни замечаем турбулентность в движении жидкости. Журчание ручья, шипение воды в водопроводной трубе - это признак того, что имеет место турбулентность. Турбулентность может также проявляться при движении газов.

Течение вязких жидкостей по трубам представляет собой интерес для медицины, так, как кровеносная система состоит из цилиндрических сосудов разных размеров.

В следствии симметрии ясно что в трубе частицы текущей жидкости равноудаленные от оси имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы движущиеся по центру. Самый близкий слой в трубе слой жидкости мало подвижен. Для определения зависимости скорости от расстояния. -мысленно выделяют цилиндр объём жидкости некоторого радиуса и длины.

На торцах этого цилиндра поддерживается разность давлений, что обуславливает движение воды. Кроме того на боковой поверхности цилиндра на окружности. Его воде действует сила внутреннего трения. Получаем паратолическую зависимость Vслоев жидкости от расстояния их до оси трубы.

Наибольшую скорость имеет слой жидкости текущую вдоль оси трубы.

Можно установить от каких факторов может зависеть оббьем жидкости количество протекающей через горизонтальную трубу за 1 секунду. Для этого выделяем цилиндрический слой

Как видно из формулы Пуазейля при заданных p1 иp2 через трубу протекает чем больше жидкости тем меньше её вязкость и чем больше радиус трубы

Совокупность нескольких измерений вязкости называется вискозиметрией, а приборы- вискозиметры. Наиболее распостр-ый метод – это капиллярный.1) Капилярный вискозиметр применяется например для определения вязкости крови.

2) Метод: Вязкость проявляется не только при движении жидкости по сосудам, но и тел в жидкости. При небольших скоростях в соответствии с уравнением Ньютона→ Fсопр.=η*dv/dx*Sсилы сопротивления к движущемуся телу пропорц-ы вязкости тел жидкости, скорости движения тела и зависят от размеров тела.

Наиболее простой формой тела является сфера. Для сферического тела зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью от перечисленных факторов выражается законом Стокса: Fсопр.=6*π*η*r*v, гдеr- радиус шарика,v- скорость движения.

Т. образом метод падающего шарика используется в вискозиметрах, основанных на законе Стокса. Зная величины, входящие в правую часть выражения и измеряя скорость равномерного падения шарика можно найти вязкость данной жидкости.

Центр.- процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, напр. ч-ц от жид. в которой они находятся обусловленное их вращением. Рассмотр. разделение неоднородн. сист. в поле силы тяжести. Имеется водная суспензия ч-ц различной плотностей со временем благодаря действию силы тяжести и выталкив. силы Архимеда происх. расслаивание ч-ц. Ч-цы с большей, чем у воды плотности тонут, ч-цы с меньшей, чем у воды плотн. выталкив.

Fрез.=mg-Fa=Vp(ч-цы)g-Vp(жид.)g

Если знач. р(ч-цы)и р(жид) малоотличимы др. от. др., то результир. сила мала, поэтому осажд. происходит медленно.В центрифуге такое разделение происх. принуд. вращ. раздел. среду. При равномерном вращении центрифуги на ч-цу кроме силы тяжести и выталкивающей силы, действ. центростремительная сила. Во-певых, эта сила со стороны окружает ч-цу жидк.

F=mw 2 r 2 /r=mw 2 r=pVw 2 r 2

Поскольку ч-цы вращ. вместе с жидк., на её действ. центростремит. сила той ч-цы. Эффект типорации опред. превыш. силы Fнад силойF 1 . При этои ч-ца перемещается к оси вращ. и падает вниз.

F-F1=(p жид.-р ч-цы)Vw 2 r

Эффект центрифугирования, тем больше, чем больше различие плотностей сипарир. ч-цы жид., так же существенно зависит от угловой скорости. Если F1>F, то воздействие на ч-цу со стороны жид. будет не достат., чтобы удержать её на круговой орбите и ч-цы будет перемещаться к периферии

Слоистое течение жидкости наз. ламинарным. Увеличение скорости течения вязкой жидкости в следствии неоднородного давления по периметру сечения трубы созд. завихрения. При турбулентном течении скорость ч-ц в кажд. месте беспрерывно и хоат. изменяться, движ. становиться не стационарным. Хар-р течения жидкости по трубе з-т от св-в жид. скор. её течения, размеров трубы и определ. Числои Рейнольдса

Re=p жид. VD/этаRe=V 1 D/ню

Хар-р течения жид. (газа) з-т от размера трубы. В широких трубах даже при сравнительно небольшой скор. может возник. турбулентное течение, так в трубке диаметром 2 мм, турб. течение возник. при скор. 127см/с. Течение крови в артерии явл. ламинарным, небольш. Турбюл. возник. вблизи клапанов. При патологии, когда вязк. меньше нормы, число Рейнольца, может привышать критическое знач. и движ станет турбул.

Колеб. величина S изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса – гармонические колебания.

С помощью начальной фазы различн. Между началом отсчёта времени и моментом, если они не совпадут

Если вектор а равномерно вращ. С равномерной скоростью против часовой стрелки, то угол поворота фи, фи=wt, фи=w0t+фи0a, если к моменту вращения вектор имеет угол фи0, таким образом проекция на ось Ох изменяеться по закону Ax=(cosw0t+фи0)

В таком представлении амплитуда колеб это модель равномерного вращения вектора а.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний.

(из интернета)Свободными, или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити.

Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия); w0 - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний. Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t0. Постоянная φ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.

Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний. Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний равен: T = 2π/ .

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.

Круговая частота = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

29.Материальная т-ка может одновременно участвовать в некоторых колебаниях. В этом случае чтобы найти уравнение и траекторию результир-го колебания, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний (синуса или косинуса)

Схема: Сложение гармонических колебаний, направленных по 1-ой прямой.

Пояснение:

Если А1=А, то результир. А=0, т.е. колебаний нет, если материальная точка участвует одновременно в 2-х колебаниях. имеющих. одинаковые амплитуды и соверш.-хся в противофазе, то точка неподвижна.

Е

сли частоты складываемых колебаний неодинаковы, то сложные колебания не будут ограничены.

Колебаниями называют любые процессы более или менее точно повторяющиеся через равномерные промежутки времени(периоды).Это могут быть физические процессы любой природы(механической, тепловой, электрической). Всем колебаниям в независимости от природы присуще общие закономерности, которые легче всего рассматривать на примере механических колебаний. Всем колебаниям присуще некот., закономерности, кот. Легче всего рассматр. Для наиболее простого случая – механические колебания.

Механические колебания - это движение тел или частиц под действием внутренних сил, стремящихся удержать тело или частицу в равновесном положении, если такое тело выведено из равновесия внешней силы, то под действием внутренних сил и следствии энерции оно возвращается в это положение путём многоконкретных колебаний возле него. Если такое тело вывести из положения равновесия внешними силами, то под действием внутренних сил и в следствии инерции, оно возвращается в это положение путём многократного колебания около его. Основной величиной, характер-ей колебание является смещение т. е. расстояние колеблющегося тела под положения равновесия в любой заданный момент времени.

В нерастяжимых положениях уравновешивается если оттянуть пружину, пока тело будет действовать больш, если зажим пружину отпустить и предоставить действ. , то тело будет совершать колебательные движения. Возращ. К среднему положение тело по инерции пройдёт его и отклониться в противоположн. Сторону, преодолевая упруг. Силу.

Достигнув максимального отклонения тело остановиться затем под действием силы упругости. Снова возратиться в исходное состояние, по инерции пройдёт в обратном направлении

Матем. Маятник.

Сравнивая формулы для 1пружинистого и 2математического маятников(1)Fупр.=-KS; 2)F=mg(S/l), где S- смещение материальной точки относительно положения равновесия, l- длина нити маятника,F- сила маятника.) видим., что в случаи математического маятника равнодействующая сила подобна упругой(для пружинного маятника) т. е. пропорциональна смещению материальной точке и направлена к положению равновесия.. Такие силы не упруги в природе, но аналогичны по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел– называются квазиупругими.

d 2 S/dt 2 +w 0 2 S=0 – диффер. уравнение 2 порядка

его решением является S=Acos(w 0 t+фи 0) Колеб. величина S

изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса – гармонические колебания.

Ах=S=Acosфи=Acos(wt)- в векторной системе.

С помощью начальной фазы различн. Между началом отсчёта времени и моментом, если они не

Колебаниями называют любые процессы более или менее точно повторяющиеся через равномерные промежутки времени(периоды).Это могут быть физические процессы любой природы(механической, тепловой, электрической). Всем колебаниям в независимости от природы присуще общие закономерности, которые легче всего рассматривать на примере механических колебаний.

Механические колебания - это движение тел или частиц под действием внутренних сил, стремящихся удержать тело или частицу в равновесном положении, если такое тело выведено из Fравновесия внешней силы, то под действием внутренних сил и следствии энерции оно возвращается в это положение путём многоконкретных колебаний возле него.

Основной величиной, характер-ей колебание является смещение т. е. расстояние колеблющегося тела под положения равновесия в любой заданный момент времени.

Колебания тела вызванные однократным воздействием внешней силы и продолж. под действием внутр. сил и в следствии инерции наз. свободными (собственными) колебаниями.

Энергия сообщающаяся телу расходующаяся на преодоление трения в следствии чего амплитуда колебаний уменьшается – затухающие колебания.

md 2 S/dt 2 +KS-Fтр=0

md 2 S/dt 2 +KS+rds/dt=0

Решение этого уравнения и должно отражатьть 2 процесса:

Колеб. движ. тела;

Постепенно убывает амплитуда при каждом колебании.

S=A 0 e -bt cos(w 0 t+фи 0)

Энергии тела, совершающая гармонические колебания , состоит из кинетической и потенциальной энергии, которые в процессе периодически переходят 1 в 2-ую. В момент наибольшего смещения тела, скорость тела равна нулю и вся энергия переходит в потенциальную. при прохождении телом положения равновесия скорость максимальна и энергия переходит в кинетическую.

Вынужденные колебания – колебания тела, вызванные и поддерживаемые внешней силой, переодически изменяющиеся по величине и направлению наз-ся вынужденными колебания, а внешняя сила- вынуждающая.F=F 0 coswt. Вынужденные колебания хотя и происходят с частотой вынужд-ой. силы, но устанавливаются они не сразу. В начальный момент на вынужденные колебания накладываются свободные колебания, вызванные первичными воздействиями вынуждаемой силы..

Решением этого уравнения явл. cумма двух слагаемых, одно из них соответствует затухающ. колебаниям. Играют роль только при установлении колеб. со временем или можно пренебречь др. опис. смещение материальной т-ки в условиях установившихся вынужденных колебаний.

х=Аcos(wt+фи 0)

А=fm/ (2 означает в квадрате)

Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынужд. силы и в тоже время она тем больше, чем ближе частота.

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающее силы к собственной частоте колебаний тела - резонанс, происходящие при этом колебания – резонансные, а их частоты – резонансная частота колебаний

Существуют колебательные системы в которых поддерживаются не затухающие колебания собственной частоты, а происходящие в них колебания – автоколебания .

(Источник энергии→ Промежуточный механизм→Колебательная система→Устройство обратной связи→промежуточные колебания) .

Характерно наличие источника внешней силы постоянной по величине и направлению, которая периодически, в необходимые моменты времени, подталкивает колеблющиеся тело и таким образом поддерж. его свободные колебания незатухающими. Действие силы в необходимые моменты времени обеспечивается с помощью соответств-го. устройства (анкера), кот. управляется самим колеб-ся. телом так наз. аппаратная связь. Простейшим примером автокол-ся системы является часовой механизм.

уравнение Клайперона- Менделеева – уравнение состояния идеального газа: pV= RT. P-давление,μ-молярная масса,R-универсальная газовая постоянная. Уравнение выражающее объеденённый закон газового состояния, можно записать не для произвольной массы газа,а для 1 моля газа. Один моль любого газа при нормальном атмосферном давлении и температуре занимает один и тот же объем- молярный. Следовательно для 1 моля любого газа в уравнении газового состояния одна и та же величина- газовая постоянная (R= =8,31дж/моль к) Следовательно из 1 моля любого газа уравнение газового состояния записывается одинаково:pV µ= RT или V µ p / T = R Это уравнение легко обобщается для произвольной массы газа, если молярный объем газа выразить через произвольный объем: Vµ=µ/p=µV/m. Подставим значение Vµ в формулу и получим уравнения газового состояния для произвольной массы газа: p V = RT .

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом.

Из книги: В соответствии с законами Бойля - Мариотта и Гей-Люссака запишем: (1)p 1 V 1 =p / 1 V 2 (2) = Исключив из уравнений (1) и (2) получим = Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е. (3) =B=const Выражение (3) является уравнением Клапейрона , в котором В - газовая постоянная, которая различна для разных газов.Русский ученый Менделеев сопоставил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (3) к одному молю, использовав молярный объем Vm. По закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем Vm, поэтому постоянная В будет равной для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению (4) pV m =RT удовлетворяет только идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, которая называется также уравнением Менделеева-Клайперона

молек-кинет теория была ещё разработана Ломоносовым, согласно этой теории все тела состоят из молекул или атомов. Между атомами и молекулами одновременно действуют силы взаимного притяжения и отталкивания, а сами молек или атомы находятся в состоянии непрерывного теплового движения. В газах- поступательное или вращательное, в твердых телах- около своего равновесного положения, в жид- колебание и период поступательные. Основное св-во движения молек их хаотичность обусловлен непрерывным соударением частиц. При соударении мгновенное значение скоростей частиц меняется по величине и направлению и происходит перераспределение их общей кинетической энергии. Представлен тремя основными приближениями верных положений:

все тела состоят из частиц: атомов, молекул и ионов;

частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);

частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

Основное уравнение МКТ:где k является постоянной Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной R к числу Авогадро NA), i - число степеней свободы молекул (i = 3 в большинстве задач про идеальные газы, где молекулы предполагаются сферами малого радиуса, физическим аналогом которых могут служить инертные газы), а T - абсолютная температура.Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

Температура - физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы.Температу́ра- скалярная физическая величина, характеризующая приходящуюся на одну степень свободы среднюю кинетическую энергию частиц макроскопической системы, находящейся в состоянии термодинамического

Молекулярная физика и термодинамика - разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в них атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) итермодинамический . Первый лежит в основе молекулярной физики, второй - термодинамики. Молекулярная физика - раздел физики, в котором изучаются строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений,основывающихся на том, что все теласостоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.

статистический метод . Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями ди-намических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т.д.) Например, температура тела определяется скоростью хаотического движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы. Таким образом, макроскопические характеристики тел имеют физический смысл лишь в случае большого числа молекул.

Термодинамика не рассматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух началах -фундаментальных законах, установленных в результате обобщения опыта. Основа термодинамического метода - определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) -совокупностью физических величин,характеризующих свойства термодинамической системы. Обычно в качестве параметров состояния выбирают температуру, давление и

распред Больцмана.

Распределение Больцмана - распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия;

Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией Ei равно:

где Ni - кратность состояния частицы с энергией Ei - число возможных состояний частицы с энергией Ei. Постоянная Z находится из условия, что сумма ni по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц n в системе (условие нормировки): ∑ ni = n.

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию Ei можно считать состоящей из

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.Для идеального газа, имеющего постоянную температуру Т и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), Б. ф. имеет следующий вид:р = p 0 * (1),

где р - давление газа в слое, расположенном на высоте h, p 0 - давление на нулевом уровне (h = h 0), m - молекулярная масса газа, R - газовая постоянная, Т - абсолютная температура.

Б. ф. может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле. При этом 46 должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе.

Б. ф. показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина -mg (h-h 0)/kT, определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT. Чем выше температура Т, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m.

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует Б. ф., т.к. в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды

Закон Максвелла о распределении молекул

По молекулярно кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул в газе, находящемся в состоянии равновесия при (Т= const), остается постоянной и равной (V Kn) = Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное,не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, котороеподчиняется вполне определенномустатистическому закону. Этот закон те-оретически выведен Максвеллом.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией, называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v)/N, имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число (долю) молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, т. е. =f(v)dvоткудаf(v)=

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) -закон распределения молекул идеального газа по скоростям.

Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:

гдеN i является числом молекул имеющих энергию E i при температуре системы T и N,является общим числом молекул в системе,k- постоянная Больцмана.

48 Средние скорости молекул, газа очень велики - порядка сотен метров в секунду при обычных условиях. Однако процесс выравнивая неоднородности в газе вследствие молекулярного движения протекает весьма медленно. Это объясняется тем, что молекулы при перемещении испытывают соударения с другими молекулами. При каждом соударении скорость молекулы изменяется по величине и направлению. Вследствие этого, скорость, с которой молекула диффундирует из одной части газа в другую, значительно меньше средней скорости молекулярного движения. Для оценки скорости движения молекул вводится понятие средней длины свободного пробега. Таким образом, средняя дли свободного пробега λ- это среднее расстояние, которое проходит молекула от столкновения до столкновения. Для определения λ вычислим сначала среднее число соударений z выбранной молекулы с другими молекулами за единицу времени. Будем считать, что молекула после соударения продолжает двигаться по прямой со средней скоростью движения u .Молекулы, с которыми соударяется выбранная молекула, в первом приближении считаем неподвижными и принимаем их за сферические тела радиуса r. Пусть выбранная молекула движется вправо из положенияA 1 в положениеA 2 по прямойO 1 O 2 (рис.). При своем движении она испытывает соударения с теми неподвижными молекулами, центры которых лежат не дальше чем 2r от траектории. Иными словами, движущаяся со средней скоростью молекула в течении одной секунды столкнется со всеми молекулами, центры которых находятся в объеме ограниченном цилиндром с радиусом 2r и длинойu, т.е.:V=4πr 2 u

Если концентрация молекул n , то внутри рассмотренного цилиндра находится число молекул, равное:z=4πr 2 un.

Это число zи определяет среднее число соударений за единицу времени.Предположение о том, что все молекулы, кроме одной, неподвижны, является, конечно не верным. В действительности все молекулы движутся, и возможность соударения двух частиц зависит от их относительной скорости. Поэтому вместо среднеарифметической скоростиuдолжны входить средняя относительная скорость молекулu отн. Если скорости молекул распределены по закону Максвелла, то, как можно показать, средняя относительная скорость двух молекул однородного газа в

Средний путь, проходимый молекулой за единицу времени, численно равен u. Поэтому средняя длина свободного пробега равна или

Таким образом, средняя длина свободного пробега λ не зависит от температуры газа, т.к. с ростом температуры одновременно возрастают и z, иu. При подсчете числа соударений и средней длины свободного пробега молекул за модель молекулы было принято шарообразное упругое тело. В действительности каждая молекула представляет собой сложную систему элементарных частиц и при рассмотрении упругого соударения молекул имелось в виду, что центры молекул могут сблизиться до некоторого наименьшего расстояния. Затем возникает силы отталкивания которые вызывают взаимодействие, подобное взаимодействию при упругом ударе. Среднее расстояние между центрами молекул, взаимодействующих, как при упругом ударе, называют эффективным диаметромσ=2r. Тогда

49 диффузия, закон фика.

Диффузия обусловлена хаотическимдвижением молекул, процесс постепенного взаимодействия проникновения 2ух в-ств граничащих др с др.

Явление диффузиизаключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердыхтел; диффузия сводится к обмену массчастиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности.

Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другимимолекулами, в основном «стоят» наместе.

2 соприкоснувшихся газа диффузируютдр в др(если не реагируют), но этого нельзя сказать о жидкости. 2 жидкости диффузируютдр в др лишь в том случаи если они способны смешиваться др с др, напр нет диффузии: растит масло и вода. Закон диффузии вжид и газах был найден фикком: dsdt

Количдиффуз-го в-ва m проход за времяtчерез площадкуSрасположенную пропорцион к направлен в котордви в-во, С 1 и С 2 - концентрацдиффузион-го в-ва в 2ух соседних слоях,J-коффиц диффузии(зависит от природы среды в-ва,темпер, давлен)

Диффузия играет больш роль в природе. Корни растут захватывая в-ва из почвы благодаря диффузии.

Запись с книги:

Ф-лакоторая показывает, что плотность потока вещества J пропорциональна коэффициенту диффузии D [(cm 2 s − 1)] и градиенту концентрации. Это уравнение выражает первый закон Фика. Второй закон Фика связывает пространственное и временное изменения концентрации (уравнение диффузии):

Коэффициент диффузии D зависит от температуры.)

51 теплопроводность закон фурье.

Теплопроводность-один из процессов теплопередачи. Теплопроводность имеет место при непосредственном прикосновении тела. При нагревании твердого тела амплитуда колебаний его молекул увеличивается, процессы соседнего слоя его молекул или др, соприкасаясь с молек испытывают толчки и начинают усиленно ломаться передавая энергию колебания дальше. Если в однойобласти газа средняя кинетическаяэнергия молекул больше, чем в другой,то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул,т.е., иными словами, выравниваниетемператур.

Теплопроводность газа обуславлив обменом К при столкновении газовых молекул. В твердом состоянии любое вещество обладает наибольшей теплопроводностью. Перенос энергии в форме теплотыподчиняется закону Фурье: j E = -λ или (с конспекта:Q=K dsdt)

Количество тепла проходящ за время tчерез взятую внутри тела площадкуdsпропорцион потоку энергии пропорцион времениdt,dsи температ градиенту dT/dt,T-темпер. К-коэф теплопроводности. В-ва для котор К имеет большое значение-хорошие проводники тепла.

52. Из сопоставления формул (Q=-К dsdt – теплопров з-н фурье),(δm=J dc/dt*dsdt – диффузия з-н фика) и (F= Sуравнение ньютона вязкость),

Запись с книги:

если в газе создается какая-либо неоднородность его параметров (например, разные температуры газа или разные концентрации компонентов газовой смеси в разных частях сосуда), то возникают отклонения состояния газа от равновесия, которые сопровождаются переносом энергии (теплопроводность) или массы компонентов смеси (диффузия) из одной части сосуда в другую. При различии в скоростях перемещения разных слоев газа (например, при течении газа в трубе) возникает поперечный перенос импульса (вязкость). Все эти явления объединяются одним общим названием процессы переноса. При их описании особенно важным оказывается учет характера столкновений молекул в газе. Порядок величины соответствующих коэффициентов переноса (кинетических коэффициентов) и характер зависимости их от основных параметров дается элементарной кинетической теорией газа, основанной на модели молекул в виде твердых упругих шаров и на концепции средней длины свободного пробега молекул. Для переноса энергии в газе принимается:

где q – плотность потока энергии (поток тепла), k – коэффициент теплопроводности, dT/dz – градиент температуры в направлении оси z.

Сила вязкого трения, возникающая между двумя слоями в движущемся газе, если имеется поперечное распределение скорости газа u(x), имеет вид:

Наконец, если в бинарной газовой смеси молекул с близкой массой компонентов задано распределение плотности одного из компонентов n1(z), то диффузионный поток молекул компонента в направлении z записывается в виде:

Коэффициенты переноса в этих соотношениях: коэффициенты теплопроводности k, вязкости h и самодиффузии D, получаемые методами элементарной кинетической теории, записываются в виде:

52 (22)

где l – средняя длина свободного пробега молекул, бvс – средняя тепловая скорость молекул. Поскольку, где s – поперечное сечение столкновений молекул. коэффициенты теплопроводности и вязкости не зависят от плотности (или от давления) газа, в то время как коэффициент диффузии D ~ 1/p. В элементарной теории численные коэффициенты в выражениях (22) оказываются одинаковыми. Точная теория для модели твердых упругих шаров (s = сonst) дает h = 0,5бvс l, k = 2,5(R/M)h,

Более реалистические модели взаимодействия молекул в газе вносят изменения в характер зависимости коэффициентов переноса от температуры, что позволяет обеспечить лучшее совпадение теории с результатами экспериментальных измерений этих коэффициентов

53 энергия тела зависит от его строения и состояния и представляет собой сумму полных энергией состтавл его частиц. Это и есть внутреняя энергия тела. К внутр энергии в первую очередь относят кинетическую энергию движения и потенциальную энергвзаимодейств атомов и молекул. К внутренэнерг относится энергхим связей атомов в молекуле, кинет потенц энергии электронов в атомах, энергии электромагнитного излучения, кот излучается и поглощается телом. Полная энергия тела это сумма всех видов внутрен энергии тела и внешнмеханич энергии тела.виды энергии могут взаимно превращаться причем всегда в опред эквивалентных кол-вах. Закон сохранения и превращения энергии в термодинамике: при любых процессах в изолированной термодинамической системе внутренняя энергия остается неизменной:U=const (∆U-изменение внутренней энергии)

Изменить скорость движения молекул и следовательно внутренюю энергию можно2 способами:

1 совершением мех работы

2 теплопередачей

Для идеального газа потенциальной энергией молекул можно принебреч. Внутреняя энергия идеального газа = сумме кинетич энергий хаотического теплового движения всех молекул. изменение внутренней энергии данной массы газа происходит только при изменение его темпер.

Внутрення энергия макроскопических тел в общем случаи зависит от темпер и объема тела

54 первое начало термодинамики

Газ при заданной температ и давлении в цилиндре закрытом поршнем.система имеет внутреннюю энергию U 1 газ нагреваем и его внутренняя энергия меняеется до состоянияU 2 при этом газ расширяется и совершает работу против внешних сил. В соответствий с законом сохранения энергии изменение внутреней энергии=разности между количеством теплотыQперед системой и совершаемой работой А. т.е кол-во теплоты переданной системе идет на изменение её внутренней энергии и на совершение сист работы против внешних сил.

Изменение внутр энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно сумме кол-ва теплоты, сообщеного системе и работы внешних сил совершаемой над системой, то есть

Или:кол-вотеплоты,переданноесистеме,идет на изменение её внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами: где –Q=кол-во теплоты,A-работа внешних сил, –изменение внутренней энергии,A 1 -работа самой системы.

А= - А 1= -Р . При нагревании и охлаждении кол-во теплоты: (с-удельнтеплоем в-ва)

Если система периодически возвращается в первоначальное состояние,то изменение ее внутренней энергии AU=0. Тогда, согласно первому началу термодинамики, А=Q

55 Изохорный процесс (V = const).График зависимости между параметрами состояния идеального газа при V = const называется изохорой.механическая работа не совершается т к V=0→А=0 следовательноQ=∆Uт е кол-во теплоты идет на изменение внутреней энергии. процесс 1 - 2 есть изохорное нагревание, а 3 - 4 - изохорное охлаждение.

Изобарный процесс (р = const). График зависимости между параметрамисостояния идеального газа при р = constназывается изобарой. В этом случаи еслиQ>0,то газ и нагревается и совершает механическую работу:Q=∆U+A, А=Р∆V. Работа совершенная газом в этом случаи= А=ρPdv=P(v 2 -v 1).

Теплоемкость вещества - величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К. она показывает соотношение ∆Q, сообщает телу и соотповт ∆r. :C= Теплоемкость зависит от природы тела, хар-ны процессы при кот.тепл сообщается телу.1)если нагревание газа приv=const, то тепл идет на повышение температуры: С v = = 2) если нагревание при р=const, тепл идет на повышенtгаза, остальное расходуется на работу: С p = - +А C P >C V , т,е теплоемкость идеального газа при постоян давлении больше чем при постоян объеме. Отношение =ϒ,ϒ зависит от числа атомов в молекуле газа.

Изотермический процесс (Т= const).изотермический процесс описывается закономБойля - Мариотта: pV= const. График зависимости между параметрами состояния идеального газа при Т = const называется изотермой.Внутреняя энергия не меняется: . Кол-во теплоты сообщаемое системе, идет на совершение мех работы.

56 Адиабатным называется процесс,при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой (∆ Q = 0).К адиабатным процессам можно отнести все быстропротекающие процессы.Адиабатнымпроцессом,можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуковой волны настолько велика, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиабатные процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках.∆ U = A

Для идеальных газов в случае квазистического процесса адиабата имеет простейший вид и определяется уравнением:где:v- его объём,- показатель адиабаты, и - теплоёмкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объёме.С учётом уравнения состояния идеального газа уравнение адиабаты может быть преобразовано к виду: где T - абсолютная температура газа. Или к виду: Посколькуkвсегда больше 1, из последнего уравнения следует, что при адиабатическом сжатии (то есть при уменьшенииV) газ нагревается (Tвозрастает), а при расширении - охлаждается, что всегда верно и для реальных газов.

Вывод уравнения:

Согласно закону Менделеева - Клапейрона:

Продифференцировав обе части, получаем: (3)

Если в (3) подставить dTиз (), а затемdUиз (), получим:

или, введя коэффициент k:

что после интегрирования даёт:

Окончательно имеем,что и требовалось доказать.